Comprendre les maths

Cours de troisième

1 - Puissances et racines carrées

Comme nous l'avons vu en quatrième un nombre x élévé à une puissance p est le résultat du produit de x par x par x par x... p fois et la racine carrée d'un nombre n est le nombre positif y tel que y×y=n.

Nous allons maintenant voir comment calculer une puissance lorsque l'exposant est négatif ou nul et nous allons voir également quelques formules qui permettent de simplifier et accélérer les calculs dans lesquels apparaissent des puissances ou des racines carrées.

As-tu compris les racines carrées?

racine carrée =




Les racines carrées permettent d'utiliser le théorème de Pythagore et résoudre des équations du second degré. Les puissances interviennent dans de nombreux problèmes mathématiques ou scientifiques, notamment lorsqu'on manipule des nombres très grands ou très petits (avec les puissances de 10 et l'écriture scientifique).


Puissance d'exposant négatif ou nul

Exposant négatif

Pour calculer un nombre avec une puissance négative on calcule l'inverse de ce nombre avec une puissance positive.

Exemples

calcul avec les puissances et exposant negatif
calcul avec les puissances et exposant negatif
calcul avec les puissances et exposant negatif

As-tu compris?

Complète avec un nombre décimal.

calcul puissance =


Exposant nul

Un nombre à la puissance 0 vaut toujours 1, sauf zéro à la puissance zéro qui n'existe pas. Par exemple 70=1.


Calcul avec des puissances

En quatrième nous avons vu que si x, a et b sont trois nombres on a toujours :

puissance somme

Et si b≠0 :

puissance différence

Une autre formule intéressante est la suivante :

puissance de puissance

En effet on a par exemple :

calcul de puissance de puissance

Voyons enfin une dernière formule :

calcul de puissance de puissance

En effet :

calcul de puissance de puissance

Calculs avec des racines carrées

Les formules ci-dessous permettent de faire des calculs avec des racines carrées.

Formules

1. Si a est un nombre positif, on a toujours formule racine carrée.
Par exemple carré de racine carrée.

2. On peut vérifier avec une calculatrice que \(\sqrt{6}\simeq 2,45\) et \(\sqrt{2}\times\sqrt{3}\simeq 1,41\times1,73\simeq2,45\).
Si a et b sont deux nombres positifs, on a toujours racine carrée.

3. Si a et b sont deux nombres positifs (b non nul), on a toujours quotient racine carrée (en savoir plus, démonstrations).



Addition et soustraction de racines carrées

Attention \(\sqrt{3}+\sqrt{4}\simeq3,7\) mais \(\sqrt{7}\simeq2,6\).
On ne peut pas additionner des racines carrées!

Cependant dans certains cas il est possible d'additionner des racines carrées en transformant leurs écritures afin de faire apparaître la racine d'un même nombre. C'est ce que nous allons voir ci-dessous.

Exemple

racine carrée



As-tu compris?

Écris racine carrée avec une seule racine carrée.

racine carrée 


Simplification de racine carrée

En utilisant les mêmes règles de calcul voici un exemple un peu plus long.

calcul racine carrée

Pour s'entraîner

Écris sous la forme racine carrée le nombre calcul racines carrées.
Combien trouves-tu pour a et b?

a =
b =




Remarque

La racine carrée d'un nombre x c'est ce nombre x à la puissance racine carrée : racine et puissance.
Par exemple 640,5=8.



Bravo pour avoir lu ce cours jusqu'au bout.
Maintenant, essaie de faire les exercices!




>>> Développement d'expressions littérales >>>


Les racines et puissances en troisième

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