Comprendre les maths

Cours de quatrième

11 - Vecteurs, repères


Vecteurs

Un vecteur, c'est ça :vecteur
C'est une flèche. On peut dessiner un vecteur si on connait sa longueur, sa direction et son sens (le sens de la flèche). On peut lui donner un nom, le vecteur ci-dessus appelons le vecteur vecteur u. Il est inutile de savoir d'où il part. Par exemple, les vecteurs :

vecteurs egaux

sont tous égaux. L'image B d'un point A par la translation de vecteur translation de vecteur u, c'est le point qui se trouve au bout du vecteur lorsque l'on met l'origine du vecteur au point A.

translation vecteur

Un vecteur, c'est un peu une flèche qui indique un déplacement. Si on va en haut puis que l'on va à droite, au total on a fait un trajet oblique. Pour additionner deux vecteurs, on les met l'un au bout de l'autre, la somme des deux vecteurs est alors le vecteur qui part de l'origine du premier et qui arrive au bout du deuxième.

somme de vecteurs

On peut multiplier un vecteur par un nombre. Si on multiplie un vecteur par 3 on obtient un vecteur 3 fois plus long :

multiplication d

Si on multiplie un vecteur par un nombre négatif, celui ci change de sens, par exemple si on multiplie vecteur par -2 :

sens d un vecteur

On peut aussi multiplier deux vecteurs entre eux mais pour comprendre cela il faut être en classe de 1ère S. C'est le produit scalaire.

Enfin, tu es d'accord que 8 - 5 = 8 + (-5). Pour soustraire deux vecteurs, on additionne le premier avec l'opposé du deuxième, c'est à dire le deuxième que l'on a multiplié par (-1).

soustraction de vecteurs

Coordonnées d'un point

Avec deux vecteurs "perpendiculaires" de même origine et de même longueur, on peut répérer des points dans un plan à l'aide de coordonnées.

reperage d

Pour aller de 0 à A, il faut additionner 2 fois le vecteur coordonnees d avec 5 fois le vecteur coordonnees d un point. On dit que le point A a pour abscisse 2 et pour ordonnée 5. On écrit : A(2;5), ce qui se lit "A a pour coordonnées 2, 5". Cette technique permet de repérer avec des nombres la position de tous les points d'un tel dessin qui s'appelle un "repère du plan".

Distance entre 2 points dans un repère

Si A(2;5) et B(4;1), on peut calculer la distance de A à B.

distances dans un repère

En appliquant le théorème de Pythagore, les calculs donnent :

distances dans un repère

D'une manière générale, pour calculer la distance entre deux points quand on connait leurs coordonnées, si et distances dans un repère, alors :

distances dans un repère

Tu dois bien apprendre cette formule.


Coordonnées du milieu d'un segment

Sinon, si on te demande de calculer les coordonnées du milieu d'un segment [AB], il faut utiliser les deux formules qui donnent l'abscisse et l'ordonnée du milieu M du segment. Il faut calculer la moyenne des coordonnées de A et de B :

milieu d un segment

coordonnees du milieu

Coordonnées d'un vecteur

Les coordonnées d'un vecteur, ce sont des nombres qui disent de combien le vecteur monte et de combien il avance. Pour calculer les coordonnées d'un vecteur, il faut utiliser la formule :

coordonnees d un vecteur


Pour finir, revenons aux fonctions affines, on a vu qu'elles pouvaient se représenter par un graphique. Et bien avant de passer en seconde, tu dois aussi savoir que si coordonnees d et coordonnees d un point sont deux points qui appartiennent à la droite qui représente la fonction affine, alors le nombre coefficient directeur d est égal au coefficient directeur de la fonction affine. On dit aussi que c'est le coefficient directeur de la droite.



>>> Test de passage de la troisième à la seconde >>>


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