Introduction

Je place ma main à 1 mètre devant moi. Avec la hauteur de mes doigts (5 cm), j'arrive juste à cacher une montagne au loin qui mesure 400 mètres de haut. A quelle distance se trouve cette montagne?


Si les droites (AD) et (BC) sont parallèles, le théorème de Thalès nous dit que les petites longueurs OA, OD, et AD sont proportionnelles aux grandes longueurs OB, OC, et BC. Si on connaît 3 de ces longueurs on peut calculer une quatrième avec un tableau de proportionnalité et un produit en croix.

On peut aussi dire que les rapports sont égaux.

Dans notre situation les droites (AD) et (BC) sont parallèles car toutes deux verticales. Avec un produit en croix on obtient OC=8000m donc la montagne est située à 8 kilomètres.

Théorème de Thalès

Si deux droites (FS) et (CM) se coupent en un point O, si les points F, O, S et M, O, C sont alignés dans cet ordre et si les droites (FM) et (CS) sont parallèles alors:

Pour écrire les rapports qui sont égaux on écrit toujours, en partant du point d'intersection des deux droites non parallèles, les plus petites longueurs divisées par les plus grandes sur ces deux droites, et la plus petite sur la plus grande sur les deux droites parallèles (on peut aussi toujours faire l'inverse: les plus grandes sur les plus petites, mais il ne faut pas mélanger).

Exemple

Calcul de CN sachant que (FA) et (CN) sont parallèles.

Les droites (FA) et (CN) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès:

Réciproque du théorème de Thalès

La réciproque du théorème de Thalès permet de savoir si deux droites sont parallèles ou non lorsque l'on connaît des rapports de longueurs.

Pour démontrer que les droites ci-dessus (XY) et (WZ) sont parallèles, on calcule séparément les rapports et on montre ensuite qu'au moins deux d'entre eux sont égaux.

donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (XY) et (WZ) sont parallèles.