Un vecteur est une flèche qui matérialise un déplacement. Les vecteurs sont très utiles pour l'étude des mouvements et pour les sciences physiques en général. Un vecteur peut être symbolisé par une petite flèche au dessus d'une lettre minuscule (par exemple le vecteur ) ou par une flèche au dessus de deux lettre majuscules (par exemple pour le vecteur allant de A à B).

Opérations avec des vecteurs

Egalité de vecteurs

Des vecteurs égaux sont deux vecteurs de même direction, de même sens, et de même longueur. Ils peuvent avoir une origine différente.

Somme de vecteurs

La somme de deux vecteurs c'est un vecteur qui part de l'origine du premier et qui arrive à l'extrémité du second lorsque l'on a placé ces deux vecteurs l'un au bout de l'autre. Si A, B, C sont 3 points du plan, on a toujours .

Différence de vecteurs

L'opposé d'un vecteur c'est un vecteur de même longueur et de même direction mais de sens opposé. Si A et B sont deux points du plan, on a toujours . La différence de deux vecteurs, c'est la somme du premier et de l'opposé du second.

Produit ou quotient d'un vecteur par un nombre

Le produit ou le quotient d'un vecteur par un nombre est un vecteur de même direction et de longueur multipliée ou divisée par ce nombre. Si le nombre est négatif on change le sens du vecteur.

Nous verrons en première la multiplication de deux vecteurs entre eux (c'est le produit scalaire). Si deux vecteurs ont la même direction (si leurs droites d'applications sont parallèles) on dit que ces vecteurs sont colinéaires. Il n'est pas possible de diviser deux vecteurs entre eux si ceux-ci ne sont pas colinéaires, ni d'additionner ou de soustraire des nombres avec des vecteurs.

Repérage dans le plan

Les vecteurs peuvent servir à repérer la position de points dans un plan. En prenant deux vecteurs non colinéaires et en les plaçant à une même origine on forme ce que l'on appelle un repère du plan.



On peut repérer la position de chaque point M du plan à partir de la donnée d'un repère: on exprime le vecteur en fonction des vecteurs et sous la forme . Les nombres et sont alors appelés les coordonnées de M dans le repère et on note .



Lorsque les vecteurs et forment un angle droit on dit que le repère est orthogonal, et si en plus ils sont de même longueur on dit que le repère est orthonormé.

Repères orthonormés

Dans un repère orthonormé:

1. Si et alors la longueur AB vaut . Cette propriété provient du théorème de Pythagore dans le triangle ABP ci-contre rectangle en P. Dans l'exemple ci-contre, on appliquant la formule, on trouverait .

2. Si on connaît les coordonnées de deux points et et si est le milieu de [AB] alors on peut calculer les coordonnées de I en réalisant la moyenne des coordonnées de A et de B. On a:

3. Un vecteur possède des coordonnées. L'abscisse d'un vecteur, c'est de combien il avance, et son ordonnée, c'est de combien il monte. Si un vecteur passe par deux points et , alors .

4. Si deux vecteurs et sont colinéaires, alors . Réciproquement si deux vecteurs et sont tels que alors ils sont colinéaires.

En effet si et sont colinéaires, alors il existe forcément un nombre k tel que . Donc les coordonnées de sont égales aux coordonnées de multipliées par un même nombre k. On a donc:


En isolant k dans une équation et en remplaçant sa valeur dans l'autre équation on obtient .