Comprendre les maths

Cours de seconde

4 - Repérage, vecteurs


Un vecteur est une flèche.

Les vecteurs sont utiles en sciences physiques pour représenter une force, un déplacement, une vitesse.
En maths ils servent surtout à créer des repères pour se repérer avec des coordonnées dans un plan ou dans l'espace.

Notation
Si un vecteur va d'un point A à un point B on le note vecteur.
Si le point d'origine et d'arrivée n'ont pas de nom, on peut juste noter le vecteur avec une petite flèche au dessus d'une lettre en minuscule, par exemple le vecteur vecteur.

vecteurs




Opérations avec des vecteurs


Égalité de vecteurs

On dit que deux vecteurs sont égaux si ils ont la même direction, le même sens, et la même longueur. Ils peuvent cependant avoir un point d'origine différent. vecteur égaux

Somme de vecteurs

La somme de deux vecteurs qui sont placés l'un au bout de l'autre est un vecteur qui part de l'origine du premier et qui arrive à l'extrémité du second.

Si A, B et C sont 3 points on a toujours vecteur (relation de Chasles).

Question facile. Complète : vecteurs      ?=
somme de vecteurs




Différence de vecteurs

La différence de deux vecteurs c'est la somme du premier et de l'opposé du second.

L'opposé d'un vecteur vecteur c'est un vecteur de même longueur et de même direction que vecteur mais de sens opposé (la flèche est tournée de l'autre côté).

Si A et B sont deux points on a toujours vecteur.

Question plus difficile. Complète : vecteurs      ?=
différence vecteur





Produit ou quotient d'un vecteur par un nombre

Le produit (ou le quotient) d'un vecteur vecteur par un nombre k est un vecteur de même direction que vecteur, de longueur multipliée (ou divisée) par k, et de sens contraire à celui de vecteur si k est négatif. multiplication vecteurs

Remarques

1. Si deux vecteurs ont la même direction on dit qu'ils sont colinéaires.
2. Le produit deux vecteurs entre eux existe aussi: c'est le produit scalaire que nous verrons en première.
3. Il n'est pas possible de diviser deux vecteurs entre eux (sauf si ils sont colinéaires), ni d'additionner ou de soustraire des nombres avec des vecteurs.


Repérage dans le plan


Un plan est une surface plate infinie.

Les vecteurs permettent de repérer la position de points dans un plan.
Pour cela on utilise deux vecteurs non colinéaires que l'on place à une même origine. On obtient un repère du plan.

repère du plan


Pour repérer la position d'un point M dans ce repère, on exprime le vecteur vecteur en fonction des vecteurs vecteur u et vecteur v : les nombres alpha et béta tels que vecteur sont appelés les coordonnées de M dans le repère repère du plan.

On note coordonnees de m, ce qui se lit : "M a pour coordonnées alpha et béta."

Exemples

coordonnées dans le plan



As-tu compris?

Quelles sont les coordonnées du point A dans le repère repère du plan ci-dessous?

Donne les nombres x et y tels que A(x;y). Utilise seulement des nombres entiers.

repère du plan

x= y=



Lorsque les vecteurs vecteur u et vecteur v forment un angle droit on dit que le repère est orthogonal.
Si en plus ils sont tous deux de longueur 1 on dit que le repère est orthonormé.


Calculs dans un repère


Coordonnées du milieu de deux points

Si dans un repère on connaît les coordonnées de deux points coordonnées du point A et coordonnées du point B alors on peut calculer les coordonnées du point coordonnées du point I milieu de [AB].

Pour cela on calcule la moyenne des coordonnées de A et de B.

coordonnées du milieu

Question
Dans un repère W(-8;-3) et X(10;-9).
Quelles sont les coordonnées du point Y milieu de [WX]?
xY= yY=
distance dans un repère



Coordonnées d'un vecteur

Dans un repère chaque vecteur possède des coordonnées. A chaque vecteur correspond un couple de coordonnées et à chaque couple de coordonnées correspond un vecteur.

L'abscisse d'un vecteur c'est de combien il avance et son ordonnée c'est de combien il monte.

Si un vecteur passe par deux points coordonnées du point A et coordonnées du point B, alors coordonnées du point B.

Question facile
Dans un repère I(-8;-6) et J(-8;6).
Quelles sont les coordonnées du vecteur vecteur?
xY= yY=
coordonnées vecteur dans un repère


Distance entre deux points

Dans un repère orthonormé, si coordonnées du point A et coordonnées du point B alors la longueur AB vaut longueur AB. Cette propriété provient du théorème de Pythagore dans le triangle rectangle APB ci-contre.

Pour cet exemple on obtient longueur AB.

Entraînement
Dans un repère orthonormé, W(-8;-3) et X(10;-9).
Donne un arrondi à 0,1 près de la longueur WX.
distance dans un repère


Colinéarité dans un repère orthonormé

Dans un repère orthonormé si deux vecteurs coordonnées du vecteur U et coordonnées du vecteur V sont colinéaires, alors relation colinéarité vecteurs.
Réciproquement si dans un repère orthonormé deux vecteurs coordonnées du vecteur U et coordonnées du vecteur V sont tels que relation colinéarité vecteurs alors ils sont colinéaires.

En effet si coordonnées du vecteur U et coordonnées du vecteur V sont colinéaires, alors il existe un nombre k tel que relation colinéarité vecteurs. Donc les coordonnées de vecteur v sont égales aux coordonnées de vecteur u multipliées par un même nombre k (les coordonnnées de deux vecteurs sont proportionnelles). On a donc:

système équations colinéarité vecteurs

En isolant k dans une équation et en remplaçant sa valeur dans l'autre équation on obtient relation colinéarité vecteurs.


Petite question
Dans un repère orthonormé, les vecteurs coordonnées vecteur et coordonnées vecteur sont-ils colinéaires? oui non


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Les vecteurs en seconde

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