4 - Repérage, vecteurs

Un vecteur est une flèche qui matérialise un déplacement.

Les vecteurs sont utiles pour les sciences physiques en général (étude des mouvements, des forces,...) et pour se repérer sur une surface plate comme nous le verrons ci-dessous.

Un vecteur peut s'écrire avec une petite flèche au dessus d'une lettre minuscule (par exemple le vecteur ) ou avec une flèche au dessus de deux lettres majuscules (par exemple pour le vecteur allant de A à B).

Opérations avec des vecteurs

Egalité de vecteurs

Des vecteurs sont égaux si ils ont la même direction, le même sens, et la même longueur. Ils peuvent avoir une origine différente.

Somme de vecteurs

La somme de deux vecteurs est un vecteur qui part de l'origine du premier et qui arrive à l'extrémité du second lorsqu'on les a placé l'un au bout de l'autre. Si A, B, C sont 3 points, on a toujours .

Différence de vecteurs

L'opposé d'un vecteur est un vecteur de même longueur et de même direction mais de sens opposé. Si A et B sont deux points, on a toujours . La différence de deux vecteurs, c'est la somme du premier et de l'opposé du second.

Produit ou quotient d'un vecteur par un nombre

Le produit ou le quotient d'un vecteur par un nombre est un vecteur de même direction et de longueur multipliée ou divisée par ce nombre. Si le nombre est négatif on change le sens du vecteur.

Le produit deux vecteurs entre eux existe ausssi: c'est le produit scalaire que nous verrons en première. Par contre il n'est généralement pas possible de diviser deux vecteurs entre eux, ni d'additionner ou de soustraire des nombres avec des vecteurs.

Si deux vecteurs ont la même direction (si ils sont "parallèles") on dit qu'ils sont colinéaires.

Repérage dans le plan

Un plan est une surface plate infinie.

Les vecteurs peuvent servir à se repérer dans un plan. Pour cela on utilise deux vecteurs non colinéaires que l'on place à une même origine. On obtient un repère du plan.

Pour repérer la position d'un point M du plan dans ce repère, on exprime le vecteur en fonction des vecteurs et . Les nombres et tels que sont appelés les coordonnées de M dans le repère . On note , ce qui se lit : "M a pour coordonnées alpha et béta."

Lorsque les vecteurs et forment un angle droit on dit que le repère est orthogonal, et si en plus ils sont de même longueur on dit que le repère est orthonormé.

Calculs dans un repère

Dans un repère:

1. Si on connaît les coordonnées de deux points et et si est le milieu de [AB] alors on peut calculer les coordonnées de I en réalisant la moyenne des coordonnées de A et de B. On a:

2. On peut attribuer des coordonnées à un vecteur. L'abscisse d'un vecteur, c'est de combien il avance. Son ordonnée, c'est de combien il monte. Si un vecteur passe par deux points et , alors .

3. Si deux vecteurs et sont colinéaires, alors . Réciproquement si deux vecteurs et sont tels que alors ils sont colinéaires.

En effet si et sont colinéaires, alors il existe un nombre k tel que . Donc les coordonnées de sont égales aux coordonnées de multipliées par un même nombre k. On a donc:

En isolant k dans une équation et en remplaçant sa valeur dans l'autre équation on obtient .

4. Dans un repère orthonormé, si et alors la longueur AB vaut . Cette propriété provient du théorème de Pythagore dans le triangle APB ci-contre. Dans l'exemple à droite, si on applique la formule, on trouve .

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Les vecteurs en seconde

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