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Cours de troisième

9 - Le théorème de Thalès

Le théorème de Thalès est une propriété qui permet de calculer des longueurs dans certaines figures géométriques.


Quand l'utiliser?

Type de figure

L'utilisation du théorème de Thalès nécessite la présence de deux droites parallèles coupées par deux droites sécantes.

Exemples

Le théorème de Thalès sera utilisé dans des figures comme celles ci-dessous.

figure théorème de thales figure théorème de thales

Il y a deux droites parallèles coupées par deux droites sécantes.




Données nécessaires

Pour utiliser le théorème de Thalès on doit connaître au moins trois longueurs dans ce type de figure.

figure théorème de thales figure théorème de thales



Le théorème de Thalès

théorème de thales
Si A, O, B, C, D sont cinq points tels que:

- (AD) et (BC) sont parallèles.
- (AC) et (DB) se coupent en O.

Alors rapports égaux.


Remarque
Les longueurs OB, OC et BC sont proportionnelles aux longueurs OD, OA et AD.




Comment utiliser le théorème de Thalès?

Méthode

  • 1. On énonce le théorème et on écrit les rapports égaux.

  • 2. On remplace les longueurs connues par leurs valeurs numériques et on raye le rapport inutile.

  • 3. On réalise un produit en croix.


Comment écrire les rapports égaux?

Pour écrire les rapports égaux:

Remarque
On peut aussi écrire les rapports des grandes longueurs par les petites mais dans ce cas il faut bien le faire pour les trois rapports.


Exemple

1. Écriture des rapports

théorème de thales

As-tu compris?

Écris les rapports égaux dans la figure ci-dessous.

triangle rapports égaux





2. Utilisation du théorème

application du théorème de thalès On sait que (FA) et (CN) sont parallèles. Calculer CN.



As-tu compris?


Donne un arrondi à 0,1cm près de la longueur QR.

triangle

cm


Réciproque du théorème de Thalès

La réciproque du théorème de Thalès permet de démontrer (prouver) que des droites sont parallèles (ou qu'elles ne le sont pas).

Exemple

réciproque théorème de thalès

Pour démontrer que les droites ci-dessus (XY) et (WZ) sont parallèles, on calcule séparément les rapports réciproque théorème de thalès et réciproque théorème de thalès et on montre qu'ils sont égaux.

réciproque theorème de thalès

réciproque théorème de thalès

réciproque théorème de thalès donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (XY) et (WZ) sont parallèles.




Bravo pour avoir lu ce cours jusqu'au bout.
Maintenant, essaie de faire les exercices!


>>> Les probabilités >>>


Le théorème de Thalès sur cmath.fr

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D'autres sites utiles

- Sur le mathou matheux. Déplace les points de la figure et observe les rapports de longueurs.
- Sur Wikipedia. L'article sur Thalès de Millet, mathématicien et philosophe de la Grèce Antique.


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