Comprendre les maths!

Cours de troisième

1 - Puissances et racines carrées

Nous avons déjà vu en quatrième les puissances et les racines carrées.

Nous avons vu :
- qu'un nombre n élévé à une puissance p est le résultat du produit de n par n par n par n... p fois (par exemple, 25=2×2×2×2×2=32).
- que la racine carrée d'un nombre n est le nombre positif y tel que y×y=n (par exemple, la racine de 36 est égale 6).

Dans ce cours, nous allons voir comment calculer une puissance lorsque l'exposant est négatif ou nul, et quelques formules qui permettent d'accélérer les calculs dans lesquels apparaissent des puissances et des racines carrées.



As-tu compris les racines carrées ?

\(\sqrt{4}\) =




Les puissances permettent de manipuler des nombres très grands ou très petits, notamment en astronomie et en chimie en utilisant des écritures scientifiques.

Les racines carrées permettent d'utiliser le théorème de Pythagore et de résoudre des équations du second degré.


Puissance d'exposant négatif ou nul

Exposant négatif

Nous avons vu la notation an.
Si n est positif, on calcule an en calculant a×a×a×...×a : n fois.
Par exemple, 23=2×2×2=8 et (-3)4=(-3)×(-3)×(-3)×(-3)=81 (à ne pas confondre avec -34=-3×3×3×3=-81).

Mais que se passe t-il si n est négatif ?
A quoi est égal 2-3 ?
Pour comprendre les puissances négatives, commence par compléter le tableau ci-dessous.

23 22 21


Conclusion
Pour calculer un nombre avec une puissance négative, on calcule l'inverse de ce nombre avec une puissance positive.

Exemples

calcul avec les puissances et exposant négatif

calcul avec les puissances et exposant négatif

calcul avec les puissances et exposant négatif



As-tu compris ?

Complète avec un nombre décimal.

10-3 =



Exposant nul

Un nombre élevé à la puissance 0 fait toujours 1, sauf zéro à la puissance zéro qui n'existe pas.
Par exemple, 70=1.


Calcul avec des puissances

Rappel

En quatrième, nous avons vu que si x, a et b sont trois nombres, nous avons toujours :

puissance somme

Et si b≠0 :

puissance différence

Puissance de puissance

Une autre formule utile est la suivante :

puissance de puissance

En effet, on a par exemple :

calcul de puissance de puissance

Puissance d'un produit ou d'un quotient

Voyons enfin deux dernières formules :

calcul de puissance de puissance

En effet, on a par exemple :

calcul de puissance de puissance

calcul de puissance de puissance

En effet, on a par exemple :

calcul de puissance de puissance



Calcul avec des racines carrées

Les formules ci-dessous permettent de faire des calculs avec des racines carrées.

Formules

1. Si a est un nombre positif, on a toujours :

formule racine carrée

Par exemple, carré de racine carrée.

2. On peut vérifier avec une calculatrice que \(\sqrt{6}\)≈2,45 et \(\sqrt{2}\)×\(\sqrt{3}\)≈1,41×1,73≈2,45.
Si a et b sont deux nombres positifs, on a toujours racine carrée.

3. Si a et b sont deux nombres positifs (b non nul), on a toujours quotient racine carrée (en savoir plus, démonstrations).



Addition et soustraction de racines carrées

Attention ! \(\sqrt{3}\)+\(\sqrt{4}\)≈3,7 mais \(\sqrt{7}\)≈2,6.
On ne peut pas additionner des racines carrées !

Cela reste possible dans certains cas en transformant leurs écritures afin de faire apparaître la racine carrée d'un même nombre.

Exemple

racine carrée



As-tu compris ?

Écris somme racines carrées avec une seule racine carrée.

compléter somme racines carrées  



Simplification de racine carrée

En utilisant les mêmes règles de calcul, voici un exemple un peu plus long.

calcul racine carrée


Pour s'entraîner

Écris sous la forme racine carrée le nombre calcul racines carrées.

Combien trouves-tu pour a et b?

a= b =





Remarque

La racine carrée d'un nombre positif, c'est ce nombre à la puissance \(\large{\frac{1}{2}}\) : racine et puissance.
Par exemple, 640,5=8.



Bravo pour avoir lu ce cours jusqu'au bout.
Maintenant, essaie de faire les exercices !




>>> Développement d'expressions littérales >>>


Les racines et puissances en troisième

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