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Cours de troisième

1 - Puissances et racines carrées

Comme nous l'avons vu en quatrième un nombre n élévé à une puissance p est le résultat du produit de n par n par n par n... p fois et la racine carrée d'un nombre n est le nombre positif y tel que y×y=n.

Dans ce cours nous allons voir comment calculer une puissance lorsque l'exposant est négatif ou nul, et quelques formules qui permettent d'accélérer les calculs dans lesquels apparaissent des puissances et des racines carrées.



As-tu compris les racines carrées?

\(\sqrt{81}\) =




Les puissances permettent de manipuler plus facilement des nombres très grands ou très petits (avec l'écriture scientifique), par exemple en astronomie et en chimie.

Les racines carrées permettent d'utiliser le théorème de Pythagore et de résoudre des équations du second degré.


Puissance d'exposant négatif ou nul

Exposant négatif

Nous avons vu la notation an.
Si n est positif on calcule an en calculant a×a×a×...×a : n fois.
Par exemple 23=2×2×2=8 et (-3)4=(-3)×(-3)×(-3)×(-3)=81 (à ne pas confondre avec -34=-3×3×3×3=-81).

Mais que se passe t-il si n est négatif?
A quoi est égal 2-3?
Pour comprendre les puissances négatives, commence par compléter le tableau ci-dessous.

23 22 21




Conclusion
Pour calculer un nombre avec une puissance négative on calcule l'inverse de ce nombre avec une puissance positive.

Exemples

calcul avec les puissances et exposant negatif

calcul avec les puissances et exposant negatif

calcul avec les puissances et exposant negatif



As-tu compris?

Complète avec un nombre décimal.

10-4 =



Exposant nul

Un nombre à la puissance 0 vaut toujours 1, sauf zéro à la puissance zéro qui n'existe pas. Par exemple 70=1.


Calcul avec des puissances

En quatrième nous avons vu que si x, a et b sont trois nombres on a toujours :

puissance somme

Et si b≠0 :

puissance différence

Une autre formule utile est la suivante :

puissance de puissance

En effet on a par exemple :

calcul de puissance de puissance

Voyons enfin une dernière formule :

calcul de puissance de puissance

En effet :

calcul de puissance de puissance



Calculs avec des racines carrées

Les formules ci-dessous permettent de faire des calculs avec des racines carrées.

Formules

1. Si a est un nombre positif, on a toujours :

formule racine carrée

Par exemple carré de racine carrée.

2. On peut vérifier avec une calculatrice que \(\sqrt{6}\simeq 2,45\) et \(\sqrt{2}\times\sqrt{3}\simeq 1,41\times1,73\simeq2,45\).
Si a et b sont deux nombres positifs, on a toujours racine carrée.

3. Si a et b sont deux nombres positifs (b non nul), on a toujours quotient racine carrée (en savoir plus, démonstrations).



Addition et soustraction de racines carrées

Attention \(\sqrt{3}+\sqrt{4}\simeq3,7\) mais \(\sqrt{7}\simeq2,6\).
On ne peut pas additionner des racines carrées!

Cependant dans certains cas il est possible d'additionner des racines carrées en transformant leurs écritures afin de faire apparaître la racine d'un même nombre. C'est ce que nous allons voir ci-dessous.

Exemple

racine carrée



As-tu compris?

Écris somme racines carrées avec une seule racine carrée.

compléter somme racines carrées  



Simplification de racine carrée

En utilisant les mêmes règles de calcul voici un exemple un peu plus long.

calcul racine carrée



Pour s'entraîner

Écris sous la forme racine carrée le nombre calcul racines carrées.

Combien trouves-tu pour a et b?

a= b =



Remarque

La racine carrée d'un nombre positif c'est ce nombre à la puissance \(\frac{1}{2}\) : racine et puissance.
Par exemple 640,5=8.



Bravo pour avoir lu ce cours jusqu'au bout.
Maintenant, essaie de faire les exercices!




>>> Développement d'expressions littérales >>>


Les racines et puissances en troisième

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