Comprendre les maths!

Cours de première S

8 - Trigonométrie


En seconde, nous avons vu comment agissent les fonctions sinus et cosinus et comment obtenir les valeurs de ces fonctions en utilisant un cercle trigonométrique.

Dans ce cours, nous allons voir une nouvelle unité de mesure d'angle, le radian, et des nouvelles propriétés des fonctions sinus et cosinus.
Cela sert surtout en sciences physiques : pour l'étude des courants électriques et des phénomènes oscillatoires.


Angle orienté

Jusqu'à présent, les mesures des angles étaient toujours des nombres positifs : on pouvait mesurer un angle dans n'importe quel sens en obtenant toujours le même résultat.

Un angle orienté est un angle formé par un point d'origine et deux vecteurs partant de ce point, et mesuré en allant dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, appelé sens trigonométrique.

angle Angle géométrique :
angle

Angles orientés :
angle


Le radian

Le radian est une unité de mesure d'angle.
On exprime toujours un angle orienté en radians.


Construction du radian

Prenons un cercle de rayon 1 et plaçons sur son contour un bout de ficelle de longueur 1.
Un radian est la mesure de l'angle formé par le centre du cercle et les 2 extrémités de la ficelle.


angle angle


Un angle qui mesure x radians est obtenu avec un morceau de ficelle de longueur x.


Conversions radians⇔degrés

Si nous réalisons un tour complet (360 degrés), la formule du périmètre du cercle donne périmètre cercle, donc périmètre cercle.
Donc périmètre cercle.


Autres exemples

cercle trigonométrique

cercle trigonométrique

cercle trigonométrique



As-tu compris ?

Un angle mesure angle en radians radians.
Quelle est sa mesure en degrés ?


Remarque : Il n'est pas possible de faire des conversions dans le sens degré->radian car une mesure en degrés ne précise pas de sens !


Mesure principale

Les nombres x, angle, angle, angle,... sont les mesures d'un même angle orienté, car sur le cercle trigonométrique, le point M se situe toujours au même endroit.
Avec les deux extrémités d'un morceau de ficelle de longueur angle, on forme le même angle qu'avec un morceau de ficelle de longueur x.

Un angle orienté possède donc toujours une infinité de mesures.
La mesure principale d'un angle orienté est sa mesure x telle que mesure principale.

On obtient la mesure principale d'un angle orienté en ajoutant ou en enlevant autant de fois pi que nécessaire.


Exemples

1. La mesure principale de angle est angle (on enlève une fois angle soit une fois angle).
2. La mesure principale de angle est angle (pour la trouver, on cherche à ajouter des multiples de angle, soit de angle).


Méthode

Pour trouver la mesure principale d'un angle orienté, il y a la méthode en tâtonnant qui consiste à ajouter ou soustraire des multiples de pi à l'angle jusqu'à obtenir une mesure comprise entre -pi et pi. Cela peut être très long. Il y a aussi la méthode ci-dessous qui marche toujours.

Exemple avec angle en radian.

angle

La mesure principale est calcul mesure principale, ce qui fait calcul mesure principale.



As-tu compris ?

Ecris sous la forme angle la mesure principale de l'angle angle.

a= b=



Relations trigonométriques

Les propriétés ci-dessous sont parfois utiles dans les exercices.
Il est inutile de les apprendre, car on peut les retrouver sur un dessin !

Pour tout nombre x, on a :

angle


angle


angle


Représentation graphique des fonctions sinus et cosinus

Pour terminer ce cours, voyons la représentation graphique des fonctions sinus et cosinus.
Ce sont des courbes sinusoïdales identiques, mais un peu décalées.


angle




Propriétés

- Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π, car cos(x+2π)=cos(x) et sin(x+2π)=sin(x). Une fonction périodique de période T est une fonction f telle que, pour tout x de son ensemble de définition, f(x+T)=f(x).

- La fonction cosinus est paire. Une fonction paire vérifie toujours f(-x)=f(x). Sa représentation graphique est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

- La fonction sinus est impaire. Une fonction impaire vérifie toujours f(-x)=-f(x). Sa représentation graphique est symétrique par rapport à l'origine du repère.


>>> Géométrie >>>


La trigonométrie en première

cours, exercices


Sur le web

- Cosinus (4ème). Apprendre à utiliser la formule du cosinus.
- Trigonométrie 3ème. Les formules du sinus et de la tangente.
- Trigonométrie 2nde. Le cercle trigonométrique. Valeurs particulières du sinus et du cosinus.


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