Comprendre les maths!

Cours de première S

5 - Suites

En maths, une suite est un ensemble de nombres qui se suivent d'une manière logique avec un début mais sans fin.

Exemples
1, 3, 5, 7, 9,... est une suite.
5, -10, 20, -40, 80, -160,... est une suite.

Les suites servent principalement à étudier des phénomènes répétitifs, par exemple si on veut savoir quel montant sera présent sur un livret d'épargne si on effectue ni retrait ni dépôt et que des intérêts sur la somme initiale s'accumulent chaque année pendant 10 ans (il ne suffit pas de calculer 10 fois les intérêts de la première année).



Notations

On nomme généralement u ou v les suites que l'on étudie.
Les valeurs prises par une suite sont appelées les termes de la suite.

suite

Écriture d'une suite

Écrire les premiers termes ne suffit pas pour représenter une suite.
Les suites sont toujours représentées :

- Soit par une formule qui donne un en fonction de n.
- Soit par le premier terme et une formule appelée formule de récurrence qui donne le terme un+1 en fonction de un.


Exemple
Pour représenter la suite des nombres impairs nous pouvons écrire un=2n+1.
Nous pouvons aussi écrire suite définie par récurrence.



As-tu compris ?

Donne le 5ème terme de la suite définie par un=3n+5.



Suites arithmétiques

Définition

Si la suite avance toujours d'un même nombre (par exemple 5, 10, 15, 20,...), on dit que c'est une suite arithmétique.

Le nombre r tel que un+1=un+r est appelé la raison de la suite.

Pour démontrer qu'une suite est arithmétique, on peut prouver que un+1-un est constant.

Calcul des termes

Pour une suite arithmétique, comme u1=u0+r on a:
u2=u1+r=u0+2r,
u3=u2+r=u0+3r,
u4=u3+r=u0+4r, et d'une manière générale :

formule suite arithmétique

Cette formule permet de calculer n'importe quel terme quand on connaît le premier terme et la raison.

On peut aussi calculer n'importe quel terme si on connaît un terme quelconque et la raison.
Par exemple, u20=u10+10×r.

On peut aussi retrouver la raison à partir de deux termes éloignés.
Si u3=10 et u7=34, la raison est 6 car on a avancé de 24 (34-10) en 4 termes (7-3).



Réfléchis un peu

u est une suite arithmétique.
On sait que u0=1 et u3=-14.
Combien fait u5?



Somme des termes

Il existe une formule qui permet de calculer la somme des premiers termes d'une suite arithmétique.

Essayons de calculer la somme des 47 premiers termes de la suite des nombres impairs.
Comme le dernier terme u46 vaut 93 (rappel : un=u0+nr), on peut écrire :

formule suite arithmétique

En additionnant ces deux égalités, on obtient 47 fois le même nombre 94.

somme des termes suite arithmétique

La somme des 47 premiers termes de cette suite fait 2209.

Pour une suite arithmétique, on a toujours :

suite arithmétique



Entraînement

Quelle est la somme des 10 premiers termes d'une suite arithmétique de premier terme 100 et de raison -10?



Suites géométriques

Définition

Une suite géométrique est une suite pour laquelle on multiplie toujours par un même nombre (également appelé raison de la suite, et généralement noté q) pour passer d'un terme au suivant.

Par exemple, la suite un=(-2)n, dont les premiers termes sont -2, 4, -8, 16, -32,... , est une suite géométrique de raison -2.

Calcul des termes

Comme u1=u0×q, on a :
u2=u1×q=u0×q×q=u0×q²
u3=u2×q=u0×q²×q=u0×q3
u4=u3×q=u0×q3×q=u0×q4

Et d'une manière générale :

formule termes suite geometrique

Somme des termes

La formule suivante permet de calculer la somme des premiers termes d'une suite géométrique :

somme termes suite géométrique

(démonstration)

Exemple
Calcul de la somme des quatre premiers termes de la suite géométrique qui commence par 5, -10, 20 et -40.

exemple calcul de la somme des termes suite geometrique

On peut le vérifier : 5-10+20-40=-25.



Entraînement

Quelle est la somme des 30 premiers termes d'une suite géométrique de premier terme 2 et de raison -2 ?



Sens de variation d'une suite

Vocabulaire

Une suite croissante est une suite pour laquelle un+1 est toujours plus grand que un.

Une suite décroissante est une suite pour laquelle un+1 est toujours plus petit que un.

Une suite monotone est une suite qui est soit croissante soit décroissante.
Toutes les suites ne sont pas monotones, par exemple la suite un=(-1)n n'est pas monotone.

Une suite majorée est une suite pour laquelle il existe un nombre M supérieur ou égal à tous les termes de la suite. M est alors appelé un majorant de la suite.

Une suite minorée est une suite pour laquelle il existe un nombre M inférieur ou égal à tous les termes de la suite. M est alors appelé un minorant de la suite.


Sens de variation des suites arithmétiques et géométriques

Une suite arithmétique est croissante si sa raison et positive et décroissante si sa raison est négative.

C'est plus compliqué pour les suites géométriques. Pour une suite géométrique de premier terme positif :
- Si q<0, la suite n'est ni croissante ni décroissante car le signe des termes change à chaque fois.
- Si q=0, les termes valent tous 0 à partir du deuxième. Elle est donc constante à partir du deuxième terme.
- Si 0<q<1, la suite est décroissante. En effet, si on multiplie un nombre positif par un nombre strictement compris entre 0 et 1, le résultat est plus petit que le nombre de départ.
- Si q=1, les termes sont tous égaux au premier terme. La suite est constante.
- Si q>1, la suite est croissante.


Sens de variation d'une suite définie par son terme général

Pour déterminer le sens de variation d'une suite définie par son terme général un en fonction de n, on peut :

1. Calculer un+1-un et montrer que le résultat est toujours positif (suite croissante) ou toujours négatif (suite décroissante).

2. Calculer calcul et montrer que le résultat est toujours strictement plus grand que 1 (suite croissante) ou strictement compris entre 0 et 1 (suite décroissante).

3. Etudier les variations de la fonction associée. La suite et la fonction ont les mêmes variations.

Sens de variation d'une suite définie par une relation de récurrence.

Pour déterminer le sens de variation d'une suite quelconque définie par une relation de récurrence, on peut établir une représentation graphique des premiers termes. Cette méthode possède l'avantage de mettre en évidence l'existence d'une éventuelle limite de la suite (un nombre vers lequel les termes de la suite se rapprochent de plus en plus) mais ne démontre pas formellement la croissante ou la décroissance.
On trace pour cela la représentation graphique de la fonction associée ainsi que la droite d'équation y=x. On place le premier terme sur l'axe des abscisses. Avec la courbe de la fonction, on place le deuxième sur l'axe des ordonnées puis avec la droite y=x on reporte cette valeur sur l'axe des abscisses. On place le troisième terme sur l'axe des ordonnées en utilisant le deuxième sur l'axe des abscisses et la courbe de la fonction. On le reporte sur l'axe des abscisses, etc...On peut ainsi visualiser les différents termes sur l'axe des abscisses.

Exemples

1. u0=1 et un+1=un-6.
C'est une suite arithmétique de raison négative donc cette suite est décroissante.

2. un=3×0,9n.
C'est une suite géométrique de premier terme positif et de raison strictement comprise entre 0 et 1 donc u est décroissante.

3. un=n²-1.
un+1-un=((n+1)²-1)-(n²-1)=n²+2n+1-1-n²+1=2n+1.
n>0 donc 2n+1>0 donc un+1-un>0 donc u est croissante.

4. exemple suite
exemple suite.
Comme 0,5<1 et n/(n+1)<1, 0,5×n/(n+1)<1 donc un+1/un<1 donc u est décroissante.

5. un=n²+2n-3
On pose f(x)=x²+2x+3.
f'(x)=2x+2. Lorsque x>0, f'(x)>0 donc f est croissante donc u est croissante.


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