Comprendre les maths

Cours de première L/ES

5 - Suites

En maths une suite est un ensemble de nombres qui se suivent d'une manière logique avec un début mais sans fin.

Exemples
1, 3, 5, 7, 9,... est une suite.
5, -10, 20, -40, 80, -160,... est une suite.

Les suites servent essentiellement à étudier des phénomènes répétitifs, par exemple si on veut savoir quel montant sera présent sur un livret d'épargne si on n'effectue ni retrait ni dépôt et que des intérêts sur la somme initiale s'accumulent chaque année pendant 10 ans (il ne suffit pas de calculer 10 fois les intérêts de la première année).


Notations

On nomme généralement u ou v les suites que l'on étudie.
Les valeurs prises par une suite sont appelées les termes de la suite.

suite

Écriture d'une suite

Écrire les premiers termes ne suffit pas pour représenter une suite. Les suites sont toujours représentées:

- Soit par une formule qui donne un en fonction de n.
- Soit par le premier terme et une formule appelée formule de récurrence qui donne le terme un+1 en fonction de un.

Exemple
Pour représenter la suite des nombres impairs nous pouvons écrire un=2n+1.
Nous pouvons aussi écrire suite définie par récurrence.


As-tu compris?

Donne le 3ème terme de la suite définie par un=-3n-5



Suites arithmétiques

Définition

Si la suite avance toujours d'un même nombre (par exemple 5, 10, 15, 20,...) on dit que c'est une suite arithmétique.

Le nombre r tel que un+1=un+r est appelé la raison de la suite.

Si on te demande de démontrer qu'une suite est arithmétique il faut prouver que un+1-un est constant.

Calcul des termes

Pour une suite arithmétique comme u1=u0+r on a:
u2=u1+r=u0+2r,
u3=u2+r=u0+3r,
u4=u3+r=u0+4r, et d'une manière générale :

formule suite arithmétique

Cette formule permet de calculer n'importe quel terme connaissant le premier terme et la raison.

Nous pouvons aussi calculer n'importe quel terme connaissant un terme quelconque et la raison.
Par exemple u20=u10+10×r.

On peut aussi retrouver la raison à partir de deux termes éloignés.
Si u3=10 et u7=34, on peut dire que la raison est 6 car on a avancé de 24 (34-10) en 4 termes (7-3).




Réfléchis un peu

u est une suite arithmétique.
On sait que u7=-3 et u10=3.
Combien vaut u2?



Suites géométriques

Définition

Une suite géométrique est une suite pour laquelle on multiplie toujours par un même nombre (également appelé raison de la suite, généralement noté q) pour passer d'un terme au suivant.

Exemple: la suite un=2n, dont les premiers termes sont 2, 4, 8, 16, 32,... , est une suite géométrique.

Calcul des termes

Comme u1=u0×q on a:
u2=u1×q=u0×q×q=u0×q²
u3=u2×q=u0×q²×q=u0×q3
u4=u3×q=u0×q3×q=u0×q4

Et d'une manière générale:

formule termes suite geometrique

Sens de variation d'une suite

Vocabulaire

Une suite croissante est une suite pour laquelle un+1 est toujours plus grand que un.

Une suite décroissante est une suite pour laquelle un+1 est toujours plus petit que un.

Une suite monotone est une suite qui est soit croissante soit décroissante. Toutes les suites ne sont pas monotones, par exemple la suite un=(-1)n n'est pas monotone.


Sens de variation des suites arithmétiques et géométriques

Comme tu peux le deviner une suite arithmétique est croissante si sa raison et positive et décroissante sinon.

Pour les suites géométriques de raison strictement positive :
- Si q<1 alors la suite est décroissante. En effet quand on multiplie un nombre par un nombre strictement compris entre 0 et 1 le résultat est plus petit que le nombre de départ.
- Si q=1 alors les termes sont tous égaux. La suite est constante.
- Si q>1 alors la suite est croissante.



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