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Cours de première

7 - Le produit scalaire

Nous avons vu comment additionner ou soustraire des vecteurs, mais nous n'avons pas encore vu comment les multiplier. C'est l'objet de ce cours.
Le produit scalaire est le produitproduit de deux vecteursvecteur entre eux.

Le produit scalaire permet de calculer des équations de droites, de plans, de définir l'orthogonalité de vecteurs et de faire des démonstrations et des calculs divers en géométrie.
Il est également utile en sciences physiques.


Produit scalaire de deux vecteurs

Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre proportionnelproportionnalité à la longueur de chaque vecteur et dépendant de l'angle qu'ils forment.

L'opérateur du produit scalaire se note avec un point au lieu du ×.


Produit scalaire sur un dessin

Dans un planplan muni d'un repère orthonormérepère orthonormé, prenons deux vecteurs partant d'un même point d'origine et formant un angle inférieur à 90 degrés.

Leur produit scalaire est le produitproduit de la longueur du premier par la longueur du projeté orthogonalprojeté orthogonal du deuxième sur la droite qui porte le premier.

dessin produit scalaire

Si l'angle est compris 90° et 180°, c'est le nombre opposé.

dessin produit scalaire



As-tu compris ?

Facile

Quel est le produit scalaire des vecteurs représentés ci-dessous ?

vecteurs dans plan



Calculs avec le produit scalaire

On calcule avec le produit scalaire comme on calcule avec un produit normal.

Exemples
vecteurs dans plan

Il est possible de vérifier ces propriétés en les testant sur un dessin.

Le fait que le produit scalaire possède les mêmes propriétés que la multiplication traditionnelle justifie le fait de l'avoir défini de cette manière.

Orthogonalité et norme

Orthogonalité

Si le produit scalaire de deux vecteurs est nul, on dit que ces vecteurs sont orthogonaux.

Pour que deux vecteurs non nuls aient un produit scalaire nul, il faut que leurs droites d'application soient perpendiculaires (ainsi, le projeté orthogonal du deuxième sur le premier est un point, de longueur nulle).

vecteurs orthogonaux


Norme

La norme d'un vecteur est une mesure de sa longueur relativement au repère dans lequel il est placé.
On note la norme avec des doubles barres verticales.

Exemple

norme vecteur

Un vecteur peut très bien avoir une norme différente de sa longueur en centimètres !

Dans un repère orthonormérepère orthonormé, si coordonnées vecteur, alors formule norme vecteur (théorème de Pythagorethéorème de pythagore).



Calcul du produit scalaire

1. Avec la norme des vecteurs et l'angle qu'ils forment
On utilise la formule du cosinusformule du cosinus.


Si 0<x<90°

calcul produit scalaire
Si 90°<x<180°

calcul produit scalaire

On obtient la même formule dans les deux cas.

En notant angle orienté la mesure de l'angle orientéangle orienté entre ces deux vecteurs, on a aussi :

formule produit scalaire

Et pour tous vecteurs vecteur et vecteur :

vecteur


2. Avec les coordonnées des vecteurs
Dans un repère orthonormérepère orthonormé, si coordonnees vecteur et coordonnees vecteur alors on peut écrire décomposition vecteur et décomposition vecteur.
Donc:

calcul produit scalaire

On a donc la formule produit scalaire.

Petite question

Les vecteurs coordonnées vecteur et coordonnées vecteur sont-ils orthogonaux?

oui non


Entraînement

Donne un arrondi à 0,1° près de la mesure de l'angle aigu formés par les droites d'équation équation de droite et équation de droite dans un repère orthonormé.




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