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Cours de première S

6 - Probabilités


Les probabilités sont l'étude des phénomènes pour lesquels la réalisation de différentes possibilités dépend du hasard.

Dans le cours de probabilités de troisième, avons vu ce qu'est une expérience aléatoire, une issue, un événement, la probabilité d'un événement, une loi de probabilité et nous avons introduit quelques notations spécifiques.

Puis, dans le cours de probabilités de seconde, nous avons vu comment calculer des probabilités lorsqu'une expérience se reproduit plusieurs fois de suite, en utilisant un arbre de probabilités. Nous avons également vu comment calculer des probabilités dans différentes situations, ainsi que les unions et intersections d'événements.

Dans la première partie de ce cours, nous allons introduire la notion de variable aléatoire qui est utile lorsqu'on doit associer des nombres aux issues d'une expérience aléatoire (par exemple, si mon client achète mon produit, je gagne 5 euros, sinon, je perds 1 euro...) et nous verrons comment calculer l'espérance et la variance d'une variable aléatoire. Ensuite, nous approfondirons nos connaissances du calcul de probabilités dans le cas où une expérience aléatoire se reproduit plusieurs fois de suite et nous verrons la loi binomiale et les coefficients binomiaux.


Variable aléatoire

Une variable aléatoire est une fonction qui s'applique sur les issues d'une expérience aléatoire.

Exemple
La règle d'un jeu est la suivante :
"On lance un dé à 6 faces. Si le nombre obtenu est strictement inférieur à 5, on perd un euro, s'il est égal à 5, on gagne deux euros, si on obtient 6, on gagne 3 euros".

Le gain à ce jeu est une variable aléatoire, car on associe des nombres aux issues d'une expérience aléatoire.
Appelons G cette variable aléatoire. G peut prendre les valeurs -1, 2, ou 3.

lancé de dés



Loi de probabilité

La loi de probabilité d'une variable aléatoire est un tableau à deux lignes.
Sur la première ligne, on écrit les valeurs prises par la variable aléatoire, et sur la deuxième, leurs probabilités.

La probabilité que la variable aléatoire prenne une valeur xi se calcule en effectuant la somme des probabilités des issues qui mènent à xi.
Pour notre jeu, on a :

loi de probabilité

La loi de probabilité est utile pour calculer l'espérance et la variance de la variable aléatoire, deux indicateurs qui vont nous dire si ça vaut le coup de jouer à ce jeu.


Espérance, variance et écart-type

Espérance

L'espérance de G, notée E(G), est un indicateur de ce qu'on peut espérer gagner en jouant une fois à ce jeu.

E(G) se calcule en multipliant tous les gains possibles par leurs probabilités.

calcul espérance mathématique

Comme l'espérance est positive, ça vaut le coup de jouer à ce jeu.
Mais bien sûr, on prend un risque. L'écart-type est une mesure de ce risque.



Variance et écart-type

Pour calculer l'écart-type de G, noté écart type, il faut d'abord calculer la variance de G, notée V(G), en effectuant la somme des produits des carrés des différences entre E(G) et les valeurs prises par G, par leurs probabilités.
Ensuite, il faut calculer la racine carrée de la variance.

calcul variance

calcul écart-type


Remarques

1. La formule de la variance peut s'écrire Formule variance, ce qui se lit : "somme pour les nombres i variant de 1 à n des pi(xi-E(X))²".
2. Si on modifie le jeu de la façon suivante : "on perd 2 euros si on fait moins de 5, on gagne deux euros si on fait 5 et on gagne 7 euros si on fait 6", et qu'on note Y le gain, alors l'espérance de Y est égale à celle de X mais son écart-type est plus grand (3,4 contre 1,7) : on peut espérer gagner autant, mais on risque de perdre ou gagner plus.



As-tu compris ?

Question 1/3
Quelle est l'espérance de la variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée ci-dessous ?

loi de probabilité

E(X)=



Répétition d'expériences identiques

Nous allons maintenant étudier le calcul des probabilités pour des situations dans lesquelles une même expérience est répétée plusieurs fois de suite sans que le résultat d'une réalisation n'influe sur le résultat des suivantes.

Exemple
On joue trois fois de suite à pile ou face avec une pièce de monnaie et on souhaite connaître la probabilité d'obtenir une seule fois pile.

On peut schématiser cette situation avec arbre de probabilités : pour chaque réalisation, on dessine deux branches et on écrit sur chaque branche la probabilité correspondante.

arbre de probabilités

La probabilité d'une issue se calcule en effectuant le produit des probabilités inscrites sur les branches qui mènent à elle : ici fraction pour chaque issue, soit fraction.

La probabilité d'un événement se calcule en effectuant la somme des probabilités des issues qui le compose.
La probabilité d'obtenir une seule fois pile est donc probabilité.


As-tu compris ?

On lance 3 fois de suite un dé à 6 faces. Quelle est la probabilité d'obtenir deux fois 6 et une fois un autre nombre ? Écris le résultat sous forme décimale arrondie à 0,01 près.





La loi binomiale

Pour l'instant, ce n'est pas trop difficile, car on peut compter les issues.

Mais que se passera t-il si au lieu de lancer 3 fois de suite la pièce de monnaie, on la lance 10 fois de suite et qu'on s'intéresse à la probabilité d'obtenir 7 fois pile ? On ne va pas dessiner l'arbre et tout compter ! Ce serait beaucoup trop long !

La loi binomiale permet de résoudre ce type de problème.

La loi binomiale permet de calculer des probabilités dans le cas où une expérience aléatoire à deux issues est reproduite plusieurs fois de suite sans que le résultat d'une expérience influe sur le résultat des suivantes.

Pour utiliser la loi binomiale, nous avons besoin de nombres appelés coefficients binomiaux.


Les coefficients binomiaux

En notant n le nombre de réalisations de l'expérience, S pour "succès", E pour "échec", p la probabilité du succès et s le nombre de succès, nous avons :

arbre loi binomiale

arbre loi binomiale

arbre loi binomiale

Les nombres en bleu sont les coefficients binomiaux.

Ils sont notés combinaisons.
On a :
combinaisons
combinaisons
combinaisons

On peut retrouver ces nombres avec un dessin appelé triangle de Pascal, du nom du mathématicien français du XVIIème siècle Blaise Pascal, ou avec la formule formule coefficients binomiaux (!=factorielle).



Construction du triangle de Pascal

Triangle de Pascal


Remarque
Les coefficients binomiaux servent aussi à développer l'expression (a+b)n avec la formule suivante appelée "formule du binôme de Newton" :

Formule du binôme de Newton

Par exemple, (a+b)4=b4+4a1b3+6a2b2+4a3b1+a4.


La loi binomiale

Si une expérience à deux issues est reproduite n fois sans que les résultats n'influent sur les résultats suivants, et qu'on note p la probabilité d'une des deux issues (appelons-la "succès") alors la probabilité d'obtenir k succès est loi binomiale.



Entraînement

On lance 8 fois de suite un dé à 6 faces. Quelle est la probabilité d'obtenir 4 fois 6 ? Donne un arrondi à 0,01 près du résultat.




>>> Le produit scalaire >>>


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