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Cours de première

10 - Probabilités

Les probabilités sont l'étude des phénomènes pour lesquels la réalisation de différentes possibilités dépend du hasard.

Nous avons introduit les probabilités en troisième. Nous avons vu ce qu'est une expérience aléatoire, une issue, un événement, la probabilité d'un événement, une loi de probabilité et nous avons introduit quelques notations spécifiques.

Puis, dans le cours de probabilités de seconde, nous avons vu comment calculer la probabilité d'une issue lorsqu'une expérience se produit plusieurs fois, en utilisant un arbre de probabilités. Nous avons également vu que la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des issues qu'il contient.

Nous allons maintenant approfondir l'étude des expériences aléatoires qui contiennent une succession d'expériences (on parle d'épreuves : par exemple, on lance 3 fois de suite un dé à 6 faces, cette expérience aléatoire contient 3 épreuves).


Expérience aléatoire à plusieurs épreuves

Lorsqu'une expérience contient plusieurs épreuves, on peut faire un arbre de probabilités.
Sur une feuille, on part d'un point à gauche, on tire des traits qui dirigent vers les issues de la première épreuve, et on note sur les branches les probabilités correspondantes.
Par exemple, pour un lancé à pile où face d'une pièce truquée avec une probabilité de pile de 0,4, on obtient d'abord ceci :

probabilité


Si un deuxième lancé est effectué, on dessine de nouvelles branches en partant des issues du premier lancé.

probabilité

Et après un troisième lancé :

probabilité

Après 3 lancés, il y a au total 8 issues. Elles ne sont pas équiprobables : la probabilité d'obtenir P-P-P est nettement plus faible que celle d'obtenir F-F-F.
On calcule la probabilité d'une issue en multipliant les probabilités inscrites sur les branches qui mènent à elle.

Par exemple, la probabilité d'obtenir 3 fois pile est 0,43=0,064.
La probabilité d'obtenir pile puis face puis pile est 0,4×0,6×0,4=0,096.
La probabilité d'obtenir 3 fois face est 0,6×0,6×0,6=0,216.

On peut écrire les probabilités de chaque issue à droite des branches de l'arbre.

probabilité

Maintenant, si on souhaite connaître la probabilité d'obtenir au moins 2 fois pile lors de 3 lancés, il faut additionner les probabilités de tous les branches correspondantes.
Il y en a 4 : P-P-P, P-P-F, P-F-P et F-P-P.
Comme 0,064+0,096+0,096+0,096=0,352, la probabilité d'obtenir au moins deux fois pile est 0,352.

Remarque
Cette méthode fonctionne également si les expériences qui se suivent ne sont pas identiques !




As-tu compris ?

Combien fait P(B)?

arbre de probabilités.




Les probabilités conditionnelles

Prenons maintenant un problème concret.

Roger Federer et Raphaël Nadal jouent au tennis en finale du tournoi de Wimbledon.

On sait que si Federer remporte le premier set, il a 8 chances sur 10 de remporter le match. Mais si Nadal remporte le premier set, Nadal a 1 chance sur 2 de remporter le match. On sait enfin que Raphaël Nadal n'a que 3 chances sur 10 de gagner le premier set. Quelle est la probabilité que Nadal remporte le match ?

Pour répondre à cette question, appelons S l'événement "Nadal remporte le premier set", M l'événement "Nadal remporte le match", et faisons un arbre de probabilités.



arbre probabilités


Nadal peut gagner le match en ayant gagné le premier set ou en l'ayant perdu.
Comme nous l'avons vu précédemment, nous pouvons calculer les probabilités de ces deux issues en multipliant les probabilités situées sur les branches.

Sur cet arbre, il y a des probabilités avec des indices : ce sont les probabilités conditionnelles.
PS(M) est la probabilité de M sachant S : c'est la probabilité que Nadal remporte le match sachant qu'il a remporté le premier set.
D'après l'énoncé, cette probabilité fait ½.
D'après les données de l'énoncé :

probabilité probabilité

L'événement "Nadal gagne le premier set et remporte le match" est l'événement formule probabilité.
Sa probabilité est le produit des probabilités qui se trouvent sur la branche correspondante.
Il doit déjà gagner le premier set (0,3) puis gagner le match sachant qu'il a perdu le premier set (0,5).

probabilité

L'événement "Nadal perd le premier set et remporte le match" est l'événement événement.
Sa probabilité est 0,14.

probabilité conditionnelle

Pour calculer la probabilité que Nadal remporte le match, comme nous l'avons vu précedemment, il faut additionner les deux probabilités précédentes.
On dit qu'on applique la formule des probabilités totales.

formule des probabilités totale

Raphaël Nadal a 29 % de chances de gagner le match.



Remarques

1. D'après ce que nous avons vu ci-dessus, nous avons, quel que soient les événements A et B, la formule P(A∩B)=P(A)×PA(B).

2. Pour une expérience aléatoire à plusieurs épreuves, si les résultats d'une épreuve n'influent pas sur les résultats des suivantes, on dit que les épreuves sont indépendantes. L'indépendance de deux épreuves A et B, ou de deux événements A et B, est caractérisée par le fait que P(A∩B)=P(A)×P(B).

3. Les probabilités conditionnelles peuvent aussi intervenir dans le cas d'expériences aléatoires à une seule épreuve, mais avec deux caractères différents étudiés sur l'univers choisi. Par exemple, si dans une classe de 30 élèves, on étudie deux caractères : le régime interne, demi-pensionnaire ou externe de l'élève, et le fait qu'il utilise ou non le site "comprendre les maths" pour s'aider en maths, on peut se poser la question de la probabilité qu'un élève de la classe utilise cmath sachant que c'est un interne. Dans ce cas, on calcule la probabilité en effectuant le quotient du nombre d'internes qui utilisent cmath par le nombre d'internes (et non pas par le nombre d'élèves de la classe). Plutôt qu'un arbre, on utilise de préférence un tableau à double entrée pour présenter les données.






>>> Les variables aléatoires >>>


Les probabilités en première sur cmath.fr

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- Probabilités seconde : Vocabulaire, notations, union et intersection d'événements, calcul de probabilité.
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