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Cours de première

2 - Équations et inéquations

Dans ce cours, nous allons d'abord voir la méthode générale pour résoudre des équations du deuxième degré.
Nous verrons ensuite des méthodes particulières pour résoudre certaines équations du deuxième ou du troisième degré.
Pour terminer, nous verrons la méthode pour résoudre des inéquations du deuxième degré.



Résolution d'une équation du deuxième degré

Une équation du deuxième degré est une équation formée par des termes avec des x², des x et des nombres.
Par exemple, 2x²+3x+4=0 est une équation du deuxième degré.

Les équations du deuxième degré permettent de résoudre des problèmes en sciences physiques, en sciences naturelles et en économie.

En seconde, nous avons vu comment résoudre une équation du deuxième degré lorsqu'une factorisation est possible, en utilisant un facteur commun ou une identité remarquable : on se ramène alors à une équation-produit. Nous allons maintenant apprendre à résoudre des équations de la forme ax²+bx+c=0 quels que soient les nombres a, b et c.

Considérons l'équation ax²+bx+c=0. Nous devons chercher à exprimer les éventuelles solutions de cette équation en fonction des coefficients a, b et c afin d'obtenir des formules permettant de calculer les solutions à partir de ces trois coefficients. Pour cela, commençons par factoriser l'expression de gauche afin d'obtenir une équation-produit.

Technique

1. On factorise par a (a≠0, car sinon, ce serait une équation du premier degré).

forme canonique

2. On multiplie et on divise le terme du milieu par 2 puis on ajoute et on soustrait nombre afin de faire apparaître le résultat du développement de la première identité remarquable.

forme canonique
forme canonique

3. On factorise avec la première identité remarquable et on simplifie ce qui reste à droite.

forme canonique
forme canonique





Forme canonique

Pour simplifier la suite du calcul, posons Δ=b²-4ac. (Δ est une lettre grecque qui se lit "delta").

On obtient forme canonique, puis en appliquant la distributivité avec a, on obtient :

forme canonique

Cette expression s'appelle la forme canonique de ax²+bx+c.

Elle permet de faire apparaître les coordonnées du sommet S de la parabole :

coordonnées sommet parabole


Différents cas

Reprenons la forme forme canonique.
Nous remarquons que :



Conclusion et méthode de résolution

Pour résoudre une équation de la forme ax²+bx+c=0, on pourrait faire tous les calculs ci-dessus en remplaçant a, b et c par les coefficients de notre équation, ce qui marcherait, mais serait très long. Pour gagner du temps, on utilisera directement les formules ci-dessus avec la méthode suivante :

1. On calcule le nombre Δ=b²-4ac.
2. On regarde le signe de delta.
- Si Δ<0, l'équation n'a pas de solution.
- Si Δ=0, l'équation possède une solution que l'on calcule avec la formule delta nul solution unique.
- Si Δ>0, l'équation possède deux solutions que l'on calcule avec les formules solutions équation du deuxième degré et solutions équation du deuxième degré.


Exemple

Pour l'équation -2x²+3x+4=0 :

1. On calcule delta. équation du deuxième degré.
2. Comme delta est positif, il y a deux solutions : équation du deuxième degré et équation du deuxième degré.




As-tu compris ?

Question 1/2

Combien de solutions admet l'équation 3x²+2x+1=0 ?


Cas particuliers : à partir d'une solution connue

Nous allons maintenant voir deux techniques qui permettent de calculer rapidement la deuxième solution d'une équation du deuxième degré, sans utiliser le lourd calcul de Δ et de x2, lorsqu'on parvient à deviner la première solution. La deuxième technique permet de résoudre certaines équations du troisième degré, comme nous allons le voir. Enfin, nous verrons comment résoudre certaines équations du quatrième degré.

Avec la somme ou le produit des racines

Si une équation ax²+bx+c=0 possède deux solutions, alors leur somme fait delta nul solution unique et leur produit fait delta nul solution unique (démonstration).
Si on devine une solution, on peut donc calculer l'autre avec l'une de ces formules.
Par exemple, pour x²+5x-6=0, on remarque que x=1 est une solution.
Comme la somme des solutions fait -5/1=-5, on a 1+x2=-5 donc x2=-6.

Entraînement

Trouve une solution évidente
de l'équation x²+5x+6=0

x =

Avec le développement de la forme factorisée

Si une équation ax²+bx+c=0 possède deux solutions x1 et x2, alors l'équation ax²+bx+c=0 se factorise en a(x-x1)(x-x2)=0.
Si on connaît une solution, on peut calculer l'autre en développant cette forme factorisée.
Par exemple, comme 1 est solution de +5x-6=0, x²+5x-6 se factorise en (x-1)(x-x2).
Développons (x-1)(x-x2) :
(x-1)(x-x2)=x²-xx2-x+x2, ce qui fait x²-(x2+1)x+x2.
En identifiant (comparant) ce résultat à x²+5x-6, on obtient x2=-6.


Entraînement

Trouve une solution évidente
de l'équation 6x²+15x-21=0

x =

Résolution d'une équation du troisième degré

Avec la même technique, on peut trouver les solutions d'une équation de la forme ax3+bx2+cx+d=0 à partir d'une solution connue x1. En effet, ax3+bx²+cx+d=0 se factorise alors en a(x-x1)(ex²+fx+g)=0. Donc x-x1=0 ou ex²+fx+g=0, et on sait résoudre tout cela.
Par exemple, pour l'équation x3-2+3x-6=0, on remarque que 2 est une solution.
x3-2x²+3x-6=0 se factorise donc en (x-2)(ax²+bx+c)=0.
Développons :
(x-2)(ax²+bx+c) = ax3+bx²+cx-2ax²-2bx-2c = ax3+(b-2a)x²+(c-2b)x-2c=0.
Par identification, on obtient a=1, b-2a=-2, c-2b=3 et -2c=-6 d'où a=1, b=0 et c=3.
Il reste à résoudre (x-2)(x²+3)=0.
Comme x²+3=0 n'a pas de solution, x3-2x²+3x-6 n'a qu'une solution.

Entraînement

Trouve une solution évidente
de l'équation x3-11x²-190x+200=0

x =



Inéquation du deuxième degré

Nous allons maintenant apprendre à résoudre des inéquations du deuxième degré.
Ce sont des inéquations de la forme ax²+bx+c≤0, ax²+bx+c<0, ax²+bx+c>0 ou ax²+bx+c≥0,
Pour cela, commençons par nous intéresser à l'allure de la courbe de la fonction f(x)=ax²+bx+c en fonction de ses coefficients.


Allure de la courbe de f(x)=ax²+bx+c

Une fonction la parabole, graphique fonction second degré se représente par une courbe appelée parabole.

Si le nombre a devant x² est positif, le sommet est en bas et les branches sont tournées vers le haut.
Sinon, c'est le contraire.

parabole parabole

La parabole touche l'axe des abscisses autant de fois que l'équation ax²+bx+c=0 possède de solutions.

parabole parabole parabole



As-tu compris ?

inéquation 2ème degré

Pour cette courbe :







Méthode

Pour résoudre une inéquation du second degré :


Exemple

Inéquation x²+x-1≥0.




As-tu compris ?

Quelles sont les solutions de l'inéquation inéquation 2ème degré ?
(écris inf pour infini)



>>> Le nombre dérivé >>>


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