Cours et exercices de maths

Cours de cinquième

6 - Triangles et quadrilatères



Dans ce cours nous allons d'abord introduire du vocabulaire pour nommer certaines droites puis nous approfondirons notre connaissance des triangles et des quadrilatères.


Droites particulières

Bissectrice

La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui divise l'angle en deux angles égaux.

bissectrice

Médiatrice

La médiatrice d'un segment est la droite qui est perpendiculaire à ce segment et qui passe par son milieu.

mediatrice


Il est possible de construire une bissectrice et une médiatrice sans utiliser de rapporteur ni d'équerre.
Une règle et un compas sont suffisants.

bissectrice mediatrice




Hauteur

Une hauteur d'un triangle est une droite qui passe par un sommet du triangle et qui coupe son côté opposé en formant un angle droit.

hauteur triangle


Médiane

Une médiane d'un triangle est une droite qui passe par un sommet du triangle et qui coupe le côté opposé en son milieu.

mediane d un triangle


Points particuliers d'un triangle

Dans un triangle, les 3 bissectrices issues des angles se coupent toujours en un même point (on dit qu'elles sont concourantes). De même les 3 hauteurs, les 3 médianes, et les 3 médiatrices d'un triangle sont également concourantes.

- Le point d'intersection des médianes s'appelle le centre de gravité du triangle. Il est situé exactement aux 2 tiers des médianes lorsque l'on part des sommets.

- Le point d'intersection des hauteurs s'appelle l'orthocentre du triangle.

- Le point d'intersection des médiatrices n'a pas de nom. C'est sur ce point que l'on doit placer la pointe du compas pour tracer l'unique cercle qui passe par les 3 sommets du triangle, appelé cercle circonscrit au triangle.

- Le point d'intersection des bissectrices n'a pas de nom non plus. Il permet de construire le cercle inscrit dans le triangle, c'est à dire le plus grand cercle inclus dans le triangle.

centre de gravité orthocentre cercle circonscrit cercle inscrit




Propriétés des quadrilatères

Le tableau ci-dessous donne les principales propriétés des quadrilatères particuliers.
Tu dois connaître ces propriétés, mais inutile de les apprendre par coeur, un petit dessin suffit généralement à les retrouver.

Nom Côtés Diagonales Figure
Parallélogramme Côtés opposés parallèles et de même longueur Les diagonales se coupent en leur milieu. parallélogramme
Losange Côtés de même longueur, côtés opposés parallèles Les diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires. losange
Rectangle Côtés opposés parallèles et de même longueur Les diagonales se coupent en leur milieu et sont de même longueur. rectangle
Carré Côtés de même longueur, côtés opposés parallèles Les diagonales se coupent en leur milieu, sont perpendiculaires et sont de même longueur. carré

Les propriétés sur les diagonales sont utiles pour réaliser des démonstrations.
Par exemple si tu dois démontrer qu'un quadrilatère est un rectangle, tu peux simplement démontrer que ses diagonales sont de même longueur et se coupent en leur milieu (le milieu de la première diagonale est confondu avec le milieu de la deuxième).




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