Comprendre les maths

Cours de cinquième

2 - Les fractions

Nous avons vu précédemment ce qu'est une fraction, comment lire une fraction, comment calculer sa valeur et comment utiliser les fractions dans des problèmes.

Dans ce cours nous allons voir une propriété sur les fractions puis comment simplifier une fraction et la rendre irréductible.

Nous allons également apprendre à comparer des fractions sans calculer leur valeur.

Propriété des fractions

Théorème

Si on multiplie ou divise le numérateur ou le dénominateur d'une fraction par un même nombre, cela ne change pas sa valeur.

Exemples

Pour la fraction \(\large{\frac{3}{4}}\).
Comme 6÷8=0,75 cette fraction est égale à 0,75.

1. Multiplication

Multiplions le numérateur et le dénominateur de \(\large{\frac{6}{8}}\) par un nombre quelconque, par exemple 5. On obtient \(\large{\frac{30}{40}}\). La calculatrice donne 30÷40=0,75. Donc \(\large{\frac{6}{8}}\)=\(\large{\frac{30}{40}}\).

Bien que les nombres qui composent les fractions soient différents, on dit que ces fractions sont égales car elles sont égales à un même nombre.

2. Division

Divisons le numérateur et le dénominateur de \(\large{\frac{6}{8}}\) par 2. On obtient \(\large{\frac{3}{4}}\). Comme 3÷4=0,75 on a aussi \(\large{\frac{6}{8}}\)=\(\large{\frac{3}{4}}\).

Remarque

Si on multiplie le numérateur et le dénominateur d'une fraction par des nombres différents, les deux fractions obtenues ne sont pas égales. Tu peux le vérifier en choisissant une fraction et un nombre au hasard, puis en calculant la valeur de la fraction, puis de la fraction obtenue après multiplication ou division du numérateur et du dénominateur par deux nombres différents.

As-tu compris?

Les fractions \(\large{\frac{6}{5}}\) et \(\large{\frac{72}{60}}\) sont-elles égales?

oui non



Simplification de fraction

Définition

Simplifier une fraction c'est écrire cette fraction avec des plus petits nombres.

Comment simplifier une fraction

Pour simplifier une fraction on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre.

On doit donc trouver un nombre qui soit à la fois un diviseur du numérateur et du dénominateur.

Exemple

Pour simplifier \(\large{\frac{24}{36}}\) on cherche un nombre qui soit à la fois un diviseur de 24 et de 36. On peut prendre 2, 3, 4, 6 ou 12.
Si on choisit 2, pour simplifier \(\large{\frac{24}{36}}\) on divise 24 et 36 par 2. On obtient \(\large{\frac{12}{18}}\).
Si on choisit 3 on obtient \(\large{\frac{8}{12}}\).
Si on choisit 4 on obtient \(\large{\frac{6}{9}}\).

As-tu compris?

Question 1. Ecris un nombre qui soit à la fois un diviseur de 35 et 84.



Fractions irréductibles

Vocabulaire

Lorsqu'il est impossible de simplifier une fraction on dit qu'elle est irréductible.

Exemples

\(\large{\frac{3}{2}}\) est irréductible mais \(\large{\frac{12}{15}}\) n'est pas irréductible.

Petite question

Essaie d'écrire \(\large{\frac{32}{20}}\) sous forme irréductible.

Numérateur :
Dénominateur :



Technique pour rendre les fractions irréductibles

Pour rendre une fraction irréductible...

Un nombre pr...

Exemples


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Entraînement

(facile) Décompose 8 en un produit de nombres premiers.

(Utilise la touche * pour écrire les multiplications)

8=


Comparaison de fractions

Pour comparer deux fractions (dire laquelle est la plus grande) on peut calculer leur valeur et comparer les nombres obtenus.

Une autre technique possible, et qui sera très utilisée en quatrième pour additionner ou soustraire des fractions, consiste à transformer l'écriture d'une fraction, voire des deux, afin que les deux fractions aient le même dénominateur.

La plus grande sera alors celle qui possèdera le plus grand numérateur.

Exemples

1. Pour comparer \(\large{\frac{5}{7}}\) et \(\large{\frac{16}{21}}\) on écrit \(\large{\frac{5}{7}}\) sous la forme \(\large{\frac{15}{21}}\). Comme 15<16, \(\large{\frac{5}{7}}\)<\(\large{\frac{16}{21}}\).

2. Pour comparer \(\large{\frac{2}{3}}\) et \(\large{\frac{3}{4}}\) on écrit \(\large{\frac{2}{3}}\) sous la forme \(\large{\frac{8}{12}}\) et \(\large{\frac{3}{4}}\) sous la forme \(\large{\frac{9}{12}}\).
Comme 8<9, \(\large{\frac{2}{3}}\)<\(\large{\frac{3}{4}}\).

Comment trouver le dénominateur commun?

Comme nous l'avons vu, pour comparer deux fractions on doit transformer leur écriture afin qu'elle soient écrites toutes les deux avec un dénominateur identique.

Méthode

Pour écrire deux fractions sous un même dénominateur :

Exemples

1. \(\large{\frac{13}{45}}\) et \(\large{\frac{2}{5}}\)
Comme 45 est un multiple de 5 on multiplie le numérateur et le dénominateur de \(\large{\frac{2}{5}}\) par 9.

2. \(\large{\frac{7}{8}}\) et \(\large{\frac{2}{3}}\)
On multiplie le numérateur et le dénominateur de \(\large{\frac{7}{8}}\) par 3 et le numérateur et le dénominateur de \(\large{\frac{2}{3}}\) par 8.

As-tu compris?

Question 1. On souhaite comparer \(\large{\frac{7}{6}}\) et \(\large{\frac{20}{18}}\).

Sous quel dénominateur commun va-t-on écrire ces fractions?





>>> Les priorités dans les calculs >>>


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