Cours et exercices de maths

Cours de quatrième

8 - Le théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore est une propriété qui permet de calculer des longueurs dans un triangle rectangle.

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Théorème de Pythagore

Vocabulaire

Le plus grand côté d'un triangle rectangle s'appelle l'hypoténuse. hypotenuse

Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. triangle rectangle

Exemple

exemple théorème de Pythagore Dans le triangle ABC rectangle en A, BC²=AB²+AC².

On peut aussi écrire cette égalité dans l'autre sens : AB²+AC²=BC².

Ou avec des multiplications : BC×BC=AB×AB+AC×AC.


Démonstration

Pour vérifier cette propriété tu peux dessiner un triangle rectangle puis mesurer les longueurs de ses côtés puis comparer le carré de la longueur de l'hypoténuse avec la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.



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As-tu compris?

Écris l'égalité du théorème de Pythagore dans le triangle ci-dessous.

théorème de pythagore

²= ²+ ²





Utiliser le théorème de Pythagore

Pour utiliser le théorème on doit connaître les longueurs de deux côtés d'un triangle rectangle : le théorème permet de calculer la longueur du troisième.


Méthode


Remarque

Le théorème de Pythagore est particulièrement utile pour calculer des longueurs qu'on ne peut pas mesurer, comme des grandes distances sur la Terre ou dans l'espace (astronomie).


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Entraînement

Question 1. Réalise les étapes 1, 2 et 3 avec le triangle ci-dessous. Qu'obtiens-tu?

théorème de pythagore

+=²



Réciproque du théorème de Pythagore

La réciproque du théorème de Pythagore est une propriété qui permet de savoir si un triangle est rectangle ou non lorsqu'on connaît les longueurs de ses 3 côtés.

Énoncé

Si le carré de la longueur du plus grand côté d'un triangle est égal à la somme des carrés des longueurs de ses deux autres côtés alors ce triangle est rectangle.


Méthode et exemple

réciproque du théorème de pythagore Question : le triangle ABC ci-contre est-il rectangle?

Méthode
1. On calcule séparément AC² et AB²+BC² et on compare les résultats obtenus.
2. On conclut.

Exemple
1.
AC²=15²=225
AB²+BC²=12²+9²=144+81=225.
On a bien AB²+BC²=AC².

2. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.



Bravo pour avoir lu ce cours jusqu'au bout.
Maintenant, essaie de faire les exercices!!!

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Le théorème de Pythagore sur cmath.fr

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D'autres sites utiles:
- Sur Automaths. Pour apprendre à bien rédiger (paragraphe III).
- Sur Mathkangs.org. Démonstration géométrique du théorème (animation).
- Sur Wikipédia. L'article encyclopédique avec histoire et démonstrations.
- Sur Jeux maths : Jeu d'aventures de 10 minutes avec des questions sur le théorème.



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