5 - Systèmes d'équations

Nous avons déjà vu les équations. Elles permettent de résoudre des problèmes.

Lorsque dans un problème il y a deux nombres inconnus, on peut appeler x et y ces deux nombres et chercher deux équations qui relient x et y avec les données de l'énoncé. On peut alors calculer x et y en résolvant un système d'équations. C'est ce que nous allons voir dans ce chapitre.

Problème avec deux inconnues

Pimpim achète deux croissants et un pain au chocolat. Il paie 2 euros 10. Dans la même boulangerie, Orphée achète un croissant et trois pains au chocolat. Elle paie 3 euros 05. Combien coûtent un croissant et un pain au chocolat dans cette boulangerie?

On résout ce problème en 3 étapes.

1. On pose x et y = "ce que l'on cherche". On pose donc x = "le prix d'un croissant" et y = "le prix d'un pain au chocolat".

2. On trouve deux équations qui relient x et y avec les données de l'énoncé. Puis on écrit ces deux équations l'une en dessous l'autre avec une grande accolade:

systeme de deux equations a deux inconnues

On obtient un système de deux équations à deux inconnues.

3. On résout le système. Il y a 2 méthodes pour cela, à toi de choisir celle que tu préfères!

Résoudre un système d'équations

1ère méthode

On isole une inconnue dans une équation puis on remplace sa valeur dans l'autre équation.

résolution d un systeme d équations => => => => => => => => => (ouf!).

2ème méthode

En multipliant une équation entière par un même nombre, on se débrouille pour avoir le même nombre devant x dans les deux équations. Puis on tire un trait sous le nouveau système et on additionne ou on soustrait les deux équations termes à termes afin d'obtenir une équation "sans x".

methode par combinaison linaire =>

Ici on soustrait les équations. On obtient soustraction d équations , d'où methode par soustraction d équations . Enfin on calcule x en reprenant l'une des deux équations du départ:

resolution de systeme par soustraction

Conclusion

Dans cette boulangerie, un croissant coûte 0,65 euro et un pain au chocolat 0,80 euro.

Autre exemple

Trouver la valeur de x et de y sachant que .

Avec la 1ère méthode

résolution d un système d équations => => => => => => =>

Avec la deuxième

=>
En additionnant les équations, on obtient résolution système équations par addition des lignes , d'où , et finalement

Remarque

Avec la deuxième méthode, pour le système ci-dessous, pour obtenir les mêmes nombres devant x, on doit multiplier à la fois la première ligne par 5 et la deuxième par 3.

Pour s'entraîner...

Quelles sont les solutions du système utilisation formule cosinus ?

>>> Les inéquations >>>

Les systèmes d'équations sur cmath.fr

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