Comprendre les maths

Cours de troisième

1 - Le PGCD


Le PGCD de deux nombres est le Plus Grand Commun Diviseur de ces deux nombres.

Le PGCD sert à simplifier des fractions et à résoudre certains problèmes.

PGCD

Diviseur

Un diviseur d'un nombre entier est un nombre entier tel que le résultat de la division de ces deux nombres soit encore un nombre entier.

Exemples



As-tu compris?

Le nombre 10 est-il un diviseur du nombre 35? oui non



PGCD

Le PGCD de deux nombres est le plus grand diviseur commun à ces deux nombres. Pour le trouver on peut écrire la liste des diviseurs du premier nombre, la liste des diviseurs du deuxième, et chercher le plus grand nombre commun aux deux listes.

Exemple
Pour trouver le PGCD de 18 et de 30 on écrit la liste des diviseurs de 18 (1, 2, 3, 6, 9, 18) et la liste des diviseurs de 30 (1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30). Le plus grand nombre commun à ces deux listes est 6 donc le PGCD de 18 et 30 est 6.

Entraînement

Quel est le PGCD de 15 et 25?




Calcul du PGCD

Lorsque les nombres sont très grands il devient long et difficile d'établir la liste de tous les diviseurs des deux nombres et de comparer ces listes. On utilise alors une méthode appelée "algorithme d'Euclide" du nom du mathématicien de la Grèce antique qui a découvert cette méthode aux alentours de 300 avant Jésus-Christ.

Algorithme d'Euclide

Exemple

PGCD de 556 et 148:

calcul PGCD

Le PGCD de 556 et 148 est donc 4.


Pour s'entraîner

Quel est le PGCD de 981 et 882?


Simplification de fraction

Le PGCD permet de simplifier des fractions compliquées.
Pour rendre une fraction irréductible on divise simplement son numérateur et son dénominateur par leur PGCD.

Exemple
La fraction fraction. On calcule d'abord le PGCD du numérateur et du dénominateur.

calcul PGCD

On divise le numérateur et le dénominateur par 13, ce qui donne fraction simplifiée avec le PGCD.
fraction simplifiée avec le PGCD est une fraction irréductible.



Problème avec PGCD

lampes Le PGCD permet de résoudre des problèmes divers.

Imaginons qu'un vendeur reçoive 90 lampes et 135 ampoules et qu'il veuille constituer des lots contenant un même nombre de lampes et d'ampoules sans avoir de restes. Combien de lampes et d'ampoules devra contenir chaque lot?

Le nombre de lots doit être un diviseur du nombre de lampes et du nombre d'ampoules et il doit être le plus grand possible afin qu'il y ait le minimum de lampes et d'ampoules dans chaque lot. Comme le PGCD de 90 et de 135 est 45, il doit élaborer 45 lots composés chacun de 2 lampes et 3 ampoules.



>>> La factorisation >>>



Le PGCD sur cmath.fr

cours, exercices


Sur le web

Sur dcode.fr, un outil de calcul en ligne du PGCD.
Sur siteexomath.free.fr, un outil pour s'entraîner avec l'algorithme d'Euclide.