Cours de troisième
Cours de troisième
Le PGCD de deux nombres est le Plus Grand Commun Diviseur de ces deux nombres.
Le PGCD sert à simplifier des fractions et à résoudre certains problèmes.
Le PGCD de deux nombres est le plus grand nombre qui puisse diviser ces deux nombres en donnant comme résultat des
nombres entiers.
Exemples
- Le PGCD de 42 et 49 est 7 car 7 est le plus grand nombre qui divise à la fois 42 et 49.
- Le PGCD de 43 et 49 est 1 car il n'existe pas de nombre plus grand que 1 qui divise à la fois 43 et 49.
Vocabulaire
Un nombre premier est un nombre qui n'est divisible que par 1 et par lui même.
Deux nombres premiers entre eux sont deux nombres dont le PGCD vaut 1.
Pour calculer le PGCD de deux grands nombres, on peut utiliser une méthode appelée "algorithme d'Euclide".
On commence par exprimer le plus grand des deux nombres avec un multiple du plus petit et un reste.
Puis on exprime le plus petit en fonction du reste trouvé et d'un nouveau reste. On continue ce procédé
jusqu'à ce que l'on arrive à un reste nul: le dernier reste non nul est alors le PGCD des deux nombres du départ.
PGCD de 556 et 148:
Le PGCD de 556 et 148 est donc 4.
Pour s'entraîner
Quel est le PGCD de 36 et 24?
Le calcul du PGCD peut servir à rendre une fraction irréductible.
Pour cela on divise le numérateur et le dénominateur de la fraction par leur PGCD.
Par exemple pour écrire la fraction 
:
On divise le numérateur et le dénominateur par 13, ce qui donne 
.
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Le calcul du PGCD permet de résoudre certains problèmes. Imaginons qu'un vendeur reçoive 90 lampes et 135 ampoules et qu'il veuille constituer des lots contenant un même nombre de lampes et d'ampoules sans avoir de restes. Combien de lampes et d'ampoules devra contenir chaque lot? Le nombre de lots doit être un diviseur du nombre de lampes et du nombre d'ampoules et il doit être le plus grand possible afin qu'il y ait le minimum de lampes et d'ampoules dans chaque lot. Comme le PGCD de 90 et de 135 est 45, il doit élaborer 45 lots qui contiendront chacun 2 lampes et 3 ampoules. |
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