Comprendre les maths

Cours de troisième

7 - Les fonctions


Une fonction est une sorte de machine à qui on donne des nombres et qui nous en retourne des autres.


Exemple
fonction (lecture) est une fonction. A chaque nombre x elle associe le nombre 2x+7.
Si on lui donne 3 elle nous retourne 13 (2×3+7). Si on lui donne 5 elle nous retourne 17.

On dit que 3 a pour image 13 par f ou que 13 est l'image de 3 par f.
On note f(3)=13 (se lit : "f de 3 égal 13").


Les fonctions sont très présentes dans la représentation de tous les phénomènes qui évoluent (température au cours d'une journée...), dans les phénomènes pour lesquels une variable dépend d'une autre (prix d'un article en fonction de l'offre et de la demande...) et dans toutes les sciences (sciences naturelles, astronomie, physique, chimie, médecine...). Elles sont omniprésentes dans les maths au lycée.

Elles permettent de relier deux grandeurs entre elles (population d'animaux en fonction de la population de leurs prédateurs, distance parcourue par une fusée en fonction du temps, aire d'un carré en fonction de la longueur de son côté, luminosité d'une étoile en fonction de son âge, etc,...).
graphique

As-tu compris?

Quelle est l'image de -2 par la fonction fonction?





Représentation graphique d'une fonction

La représentation graphique d'une fonction est une courbe qui permet de visualiser comment la fonction agit sur les nombres et comment elle relie deux grandeurs entre elles. Voyons comment la tracer.

Méthode

Pour tracer la représentation graphique d'une fonction:


Exemple

Représentation graphique de la fonction graphique.


Petite question

La courbe ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f.
Combien vaut f(3)?

image fonction





Antécédent

Un antécédent d'un nombre b par une fonction f est un nombre a tel que f(a)=b.

C'est le contraire de l'image: si l'image de 5 par f est 17 alors un antécédent de 17 par f est 5.
Un nombre peut avoir plusieurs antécédents.

Il y a deux méthodes pour trouver les antécédents d'un nombre par une fonction.


Par lecture graphique

Méthode

Pour trouver les antécédents d'un nombre a par une fonction f dont on connaît la représentation graphique:

Exemple
Antécédents du nombre 2 par la fonction représentée par la courbe bleue.

courbe fonction Lecture graphique antécédent

Les antécédents sont -2,4 et 3.


Par le calcul

Pour trouver les antécédents d'un nombre a par une fonction f dont on connaît l'expression algébrique on résout l'équation f(x)=a.

Exemple
Pour trouver les antécédents de 100 par la fonction fonction on résout l'équation 2x+7=100. On trouve x=46,5. Le nombre 2 admet donc un seul antécédent par cette fonction : 46,5.


Entraînement

Moyennement difficile. Donne un antécédent de 8 par la fonction fonction g





Fonctions linéaires et affines

Vocabulaire

1. Une fonction affine est une fonction qui peut s'écrire sous la forme expression fonction affine. Par exemple les fonctions expression fonction affine et expression fonction affine sont des fonctions affines.

2. Une fonction linéaire est une fonction qui peut s'écrire sous la forme expression fonction lineaire. Par exemple les fonctions expression fonction affine et expression fonction lineaire sont des fonctions linéaires. Les fonctions linéaires sont des fonctions affines pour lesquelles b=0.

3. Pour une fonction affine, le nombre a s'appelle le coefficient directeur et le nombre b s'appelle l'ordonnée à l'origine.


Représentation graphique

Représentation graphique fonction affine et linéaire

La représentation graphique des fonctions affines et linéaires est toujours une droite. Dans le cas des fonctions linéaires cette droite passe par l'origine du repère et les images f(x) sont proportionnelles aux nombres x.

Coefficient directeur et de l'ordonnée à l'origine sur un graphique

Il est possible de lire le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine sur le graphique.


Représentation graphique fonction affine


As-tu compris?

Quelle est l'expression algébrique de la fonction représentée sur le graphique ci-dessous?

graphique fonction afffine

f(x)=x+



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