Cours de troisième
Cours de troisième
Une fonction est un procédé on donne des nombres et qui nous en retourne des autres d'une manière logique.
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Les fonctions sont présentes partout autour de nous: l'évolution de la température en fonction du temps est une fonction, l'évolution d'un prix en fonction de l'offre et
de la demande est une fonction... Pour prévoir ou mieux comprendre certains phénomènes, nous avons parfois besoin d'étudier des fonctions. |
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Prenons la fonction 
(fonction f qui à tout nombre x associe le nombre 2x+1).
On lui donne 3 elle nous retourne 7, on lui donne 10 elle nous retourne 21.
On note f(3)=7 (se prononce "f de 3 égal 7") et f(10)=21.
On dit que 7 est l'image de 3 par la fonction f.
| Une fonction peut se représenter par une courbe sur un graphique. Pour tracer cette courbe, on commence par tracer deux axes gradués perpendiculaires: un axe horizontal (appelé l'axe des abscisses) et un axe vertical (l'axe des ordonnées). |
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Puis on calcule l'image de différents nombres par la fonction et on place à chaque fois sur le graphique un point
qui a pour abscisse le nombre de départ et pour ordonnée son image par la fonction. Pour notre fonction , prenons par exemple x=3.
Comme f(3)=7 on place un point en partant de 3 sur l'axe des abscisses et de 7 sur l'axe des ordonnées.On dit que ce point a pour abscisse 3 et pour ordonnée 7, ou encore que ses coordonnées sont (3;7). Si on nomme A ce point, on peut écrire A(3;7) pour dire que A a pour coordonnées 3 et 7. |
L'ordonnée de chaque point de la courbe est égale à l'image de son abscisse par la fonction.
Pour tracer la représentation graphique de la fonction, nous aurons besoin de plusieurs points.
On peut peut donc commencer par établir un tableau de valeurs de la fonction.
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As-tu compris?
Un antécédent d'un nombre y par une fonction f, c'est un nombre x tel que f(x)=y. Ci-dessous, le nombre 5 possède 4 antécédents par f.
On peut calculer les antécédents d'un nombre par une fonction en résolvant une équation. Par exemple si on cherche
les antécédents de 5 par 
on peut résoudre l'équation g(x)=5, soit
. On trouve x=0,6. Donc g(0,6)=5 et 0,6 est un antécédent de 5 par g.
As-tu compris?
Une fonction affine est une fonction qui s'écrit toujours sous la forme 
.
Par exemple 
et 
sont des fonctions affines, mais pas 
.
Lorsque l'on trace la représentation graphique d'une fonction affine, on obtient toujours une droite.
Le nombre a qui figure devant x s'appelle le
coefficient directeur de la droite. On peut aussi le lire sur le graphique: c'est de ce nombre que l'on doit se déplacer verticalement
pour retomber sur la droite verte lorsqu'à partir d'un point de cette droite on s'est déplacé de 1 à droite.
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A partir de n'importe quel point de la droite, si on se déplace de 1 à droite on doit monter de 3 pour retomber sur la droite. |
Le coefficient directeur est une mesure de la pente de la droite: plus il est élevé, plus la droite monte vite. Si il est négatif la droite descend.
Le nombre b s'appelle l'ordonnée à l'origine. Il est beaucoup plus facile à lire sur le graphique. C'est en effet l'ordonnée du point
d'intersection de la droite avec l'axe vertical des ordonnées. Ci-dessus il est bien égal à -7.
Si b=0 on dit que la fonction est linéaire. Sa courbe représentative passe par l'origine du repère.
Si on connait les coordonnées de deux points d'une droite dans repère, par exemple 
et 
, la formule suivante permet de calculer le coefficient directeur
de cette droite.
Après avoir calculé le coefficient directeur, nous pouvons facilement trouver l'ordonnée à l'origine ce qui nous permet de connaître l'expression de la fonction affine
correspondante, et d'utiliser ensuite cette expression pour calculer d'autres valeurs de la fonction et effectuer des prévisions. Nous ne détaillons
pas tout cela ici, mais il y a de quoi faire dans les exercices.
Bravo pour avoir lu ce cours jusqu'au bout!
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