Cours et exercices de maths

Cours de seconde

7 - Probabilités


Les probabilités sont l'étude des phénomènes (appelés expériences aléatoires) pour lesquels la réalisation de différentes possibilités (appelées issues) relève du hasard.

Les probabilités associent un nombre à chaque issue afin de pouvoir comparer ces issues entre elles et de réaliser des calculs qui permettront de prendre les bonnes décisions avant la réalisation du phénomène.

Cela permet par exemple d'optimiser des coûts dans une entreprise, de calculer des chances de gain au loto, ou encore de calculer des probabilités de pluie à 10 minutes pour décider d'interrompre ou non un match à Roland Garros.



Issues et ensembles d'issues

Généralement on ne s'intéresse pas aux chances de réalisation d'une seule issue mais à celles d'un ensemble de plusieurs issues.

Exemple
On lance un dé à 6 faces et on s'intéresse aux chances d'obtenir un nombre plus petit que 3. Cette possibilité contient 2 issues.


Événement

En probabilités, un événement est un ensemble formé d'une ou plusieurs issues relatives à une même expérience aléatoire.

Exemple
Expérience aléatoire : lancé d'un dé à 6 faces.
Événement E : "Obtenir un nombre plus petit que 3".


Notation ensembliste

En probabilités le langage et les notations sur les ensembles sont largement utilisés.

Exemple


lancer de dé événements


Union et intersection d'événements

Intersection

L'intersection de deux événements A et B, notée A∩B, est l'événement qui contient les issues communes aux issues de A et de B.

Union

L'union de deux événements A et B, notée A∪B, est l'événement qui contient toutes les issues de A et toutes celles de B.

Exemple

Expérience aléatoire : lancé d'un dé à 6 faces.
Événement A : "obtenir un nombre pair".
Événement B : "obtenir un nombre supérieur à 3".
Événement A∩B : "obtenir un nombre pair et supérieur à 3".
Événement A∪B : "obtenir un nombre pair ou supérieur à 3".
A={2;4;6}.
B={4;5;6}.
A∩B={4;6}.
A∪B={2;4;5;6}.


As-tu compris?

Ecris l'intersection des événements A={7;8;9} et B={5;6;7}.
(les accolades s'obtiennent avec la touche Alt gr)

C=





Probabilité d'un événement

La probabilité d'une issue est un nombre compris entre 0 et 1 qui est proportionnel à ses chances de réalisation (proche de 0=très improbable, proche de 1=très probable).

Les probabilités des issues d'une expérience aléatoire sont définies de telle manière que la somme des probabilités de toutes les issues soit égale à 1. Cela implique, si toutes les issues ont les mêmes chances de se produire (on dit alors qu'elles sont équiprobables) que la probabilité de chacune d'entre elles est égale à 1 divisé par le nombre d'issues.

La loi de probabilité associée à une expérience alétaoire est un tableau à deux lignes dans lequel on indique les issues sur la première ligne et leurs probabilités sur la deuxième.

La probabilité d'un événement est égale à la somme des probabilités des issues qui le compose.

Exemples

1. Lancé d'un dé non truqué à 6 faces.
On considère l'événement A="Obtenir 5 ou 6".
lancer de dé événements (se lit : P de A égal un tiers).

As-tu compris?

On tire au hasard une boule dans une urne qui contient 2 boules rouges et 3 boules vertes de mêmes dimensions.

urne avec boules

Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge?
Numérateur:
Dénominateur:



2.

probabilités

As-tu compris?

On considère l'expérience aléatoire ci-dessus.
Quelle est la probabilité que demain à Besançon à 14h il fasse moins de 15 degrés?






Probabilité d'une union

La formule ci-dessous permet de calculer la probabilité de l'union de deux événements lorsqu'on connait la probabilité de chacun d'entre eux et la probabilité de leur intersection.

probabilité union

On doit enlever P(A∩B) à P(A)+P(B) car en calculant P(A)+P(B) on compte deux fois les issues qui sont à la fois dans A et dans B.





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