Comprendre les maths

Cours de seconde

7 - Probabilités


Les probabilités sont la partie des mathématiques qui s'intéressent aux situations pour lesquelles on ne peut pas prévoir avec certitude ce qu'il va se passer (exemple: lancer d'un dé, météo la semaine prochaine...).

En mettant des chiffres sur les différentes possibilités ("pluie", "neige", "soleil"...) les probabilités permettent de comparer ces possibilités entre elles et de faire des calculs afin de prendre les bonnes décisions avant la réalisation du phénomène.

Les probabilités permettent ainsi d'optimiser des coûts dans une entreprise, de calculer des chances de gain au loto (faut-il jouer si le gain est de tant?), ou encore d'interrompre ou non un match à Roland Garros en fonction de la probabilité de pluie dans 10 minutes et dans 30 minutes.





Vocabulaire

Les probabilités nécessitent l'introduction de vocabulaire spécifique.


lancé de dés

Expérience aléatoire

On appelle expérience aléatoire un phénomène dont on ne peut pas prévoir le résultat avec certitude.

Événement élémentaire

On appelle événement élémentaire une issue possible d'une expérience aléatoire (exemples : "neige", "pluie", "soleil",...)

Univers

On appelle univers l'ensemble des issues possibles (ou l'ensemble des événements élémentaires) d'une expérience aléatoire.

Événement

On appelle événement un ensemble formé de différents événements élémentaires.



Exemple

Expérience aléatoire : lancer d'un dé à 6 faces.
Événement élémentaire ou issue : "obtenir 4".
Univers: "obtenir 1", "obtenir 2", "obtenir 3", "obtenir 4", "obtenir 5", "obtenir 6".
Événement : "obtenir un nombre supérieur ou égal à 4".


lancer de dé événements


Notations

Le langage et les notations des ensembles sont très utilisés en probabilités.

Si les issues sont des nombres on peut les noter dans des accolades, par exemple {1} (se lit "ensemble formé par le nombre 1") pour l'événement élémentaire "obtenir 1".

Pour écrire un événement constitué de plusieurs événements élémentaires on peut utiliser le grand U de l'union. Ainsi, l'événement "obtenir un nombre pair" peut s'écrire {2}U{4}U{6}, ou encore {2;4;6}, ce qui se lit: "l'ensemble formé par les nombres 2, 4 et 6".

L'univers est traditionnellement représenté par la lettre grecque symbole omega pour univers (oméga).
Dans l'exemple du lancé de dé ensemble de probabilites.


Union et intersection d'événements

L'union de deux événements A et B est l'événement qui contient tous les événements élémentaires de A plus tous ceux de B.

L'intersection de deux événements A et B est l'événement qui contient les événements élémentaires qui sont à la fois dans A et dans B.

Exemple

L'union des événements A="obtenir un nombre pair" et B="obtenir un nombre supérieur ou égal à 3" est l'événement "obtenir un nombre supérieur ou égal à 2" et leur intersection est l'événement "obtenir 4 ou 6".

On a ensemble, ensemble, ensemble et ensemble.


As-tu compris?

Ecris l'intersection des événements A={7;8;9} et B={5;6;7}.

C=





Probabilité d'un événement

Probabilité d'un événement élémentaire

La probabilité d'un événement élémentaire est un nombre compris entre 0 et 1 qui est d'autant plus grand que ses chances de réalisation sont grandes et d'autant plus petit que ses chances de réalisation sont faibles.

Si la probabilité d'un événement élémentaire est de 0,9 il est très probable que cet événement élémentaire se réalise, si elle est de 0,1 c'est au contraire très improbable. Lorsque la probabilité vaut 0,5 il y a "une chance sur 2" que cette possibilité se réalise.

Les probabilités des événements élémentaires sont définies de telle manière que lors d'une expérience aléatoire la somme des probabilités de tous les événements élémentaires soit égale à 1. Nous verrons plus bas puis compléterons en première et terminale les méthodes qui permettent de calculer la probabilité d'un événement élémentaire dans une situation donnée.

Probabilité d'un événement

La probabilité d'un événement est égale à la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constitue.

probabilités

As-tu compris?

Aujourd'hui à Besançon à 14h il fait 17°C.
Quelle est la probabilité que demain à Besançon à 14h il fasse moins de 24 degrés?




Calcul de probabilité

On dit qu'il y a équiprobabilité si tous les événements élémentaires (ou issues) d'une expérience aléatoire possèdent la même probabilité.

Dans ce cas la probabilité d'une issue s'obtient en divisant 1 par le nombre total d'issues. Par exemple pour le lancé d'un dé à 6 faces la probabilité d'obtenir le nombre 3 est fraction.

Toujours dans ce cas d'équiprobabilité, pour calculer la probabilité d'un événement il suffit de diviser le nombre d'issues qu'il contient par le nombre d'issues totales de l'expérience aléatoire (pas besoin d'additionner n fois la probabilité de chaque événement élémentaire).



Exemple
On lance un dé à 6 faces. Pour calculer la probabilité d'obtenir un résultat supérieur ou égal à 5 on divise 2 par 6. La probabilité est de fraction ou fraction.


As-tu compris?

On tire au hasard une boule dans une urne qui contient 2 boules rouges et 3 boules vertes de mêmes dimensions.

urne avec boules

Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge?
Numérateur:
Dénominateur:



Probabilité d'une union

Nous allons maintenant voir une formule qui permet de calculer la probabilité de l'union de deux événements lorsque l'on connait la probabilité de chacun d'entre eux et la probabilité de leur intersection.

Reprenons l'exemple du lancé de dé et considérons les événements A="obtenir un nombre pair" et B="obtenir un nombre supérieur ou égal à 3". fraction est l'événement "obtenir 2, 3, 4, 5 ou 6" et fraction est "obtenir 4 ou 6".

On peut calculer la probabilité de fraction en additionnant celles de A (fraction) et de B (fraction) puis en retranchant la probabilité de l'intersection (fraction). En effet si on additionne les issues de A et celles de B on compte deux fois celles qui sont à la fois dans A et dans B et on doit donc les retrancher une fois. Comme fraction on a fraction.

Bien sûr dans cet exemple nous n'avions pas besoin d'utiliser la formule ci-dessous pour calculer fraction mais cette formule marche toujours et est parfois utile!

probabilité union





>>> Cours de première sur les équations du second degré >>>


Les probabilités en seconde sur cmath.fr

cours, exercices, questions


Sur le même thème

- Probabilités première : Variable aléatoire, espérance, variance, répétition d'expériences identiques, loi binomiale.
- Probabilités terminale : Probabilités terminale : Probabilités conditionnelles, dénombrement.