Comprendre les maths

Cours de seconde

10 - Probabilités

Les probabilités sont l'étude des phénomènes (appelés expériences aléatoires) pour lesquels la réalisation de différentes possibilités (appelées issues) relève du hasard.

Les probabilités associent un nombre à chaque issue afin de pouvoir comparer ces issues entre elles et réaliser des calculs qui permettront de prendre les meilleures décisions possibles avant la réalisation du phénomène.

Cela permet par exemple d'optimiser des coûts dans une entreprise, de calculer des chances de gain (ou de perte...) au loto ou encore de calculer des probabilités de pluie à 10 minutes pour décider d'interrompre ou non un match à Roland Garros.

Dans ce cours nous allons apprendre à calculer la probabilité d'une issue dans des cas simples et dans le cas où une même expérience est répétée plusieurs fois, puis nous apprendrons à calculer la probabilité d'un événement, nous verrons les unions et intersections d'événements et nous apprendrons à calculer la probabilité d'une union de deux événements.

Ce cours fait suite à celui sur les probabilités en troisième mais il en reprend les notions principales.

Probabilité d'un événement

Probabilité d'une issue

Lorsqu'une expérience aléatoire se produit, il y a différentes issues possibles. La probabilité d'une issue est un nombre compris entre 0 et 1 qui indique si l'issue a beaucoup de chances de se produire (proche de 1 : très probable, proche de zéro : très improbable). La somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience aléatoire fait toujours 1. Par conséquent si une expérience aléatoire possède n issues qui ont toutes les mêmes chances de se produire alors la probabilité de chaque issue est \(\large{\frac{1}{n}}\). On parle dans ce cas d'équiprobabilité.

As-tu compris?

Une expérience aléatoire possède exactement 3 issues, notés I1, I2, et I3.
On sait que P(I1)=0,4 et P(I2)=0,1.
Combien fait P(I3)?
Ecris le résultat sous forme décimale.



Calcul de la probabilité d'une issue

Il y a deux cas bien distincts :

1. Si l'expérience aléatoire se produit une seule fois

Alors la probabilité d'une issue se calcule en divisant 1 par le nombre d'issues (situation d'équiprobabilité) ou en regardant les données du problème. C'est exactement ce que nous avons vu dans la question "as-tu compris?" ci-dessus.

2. Si l'expérience aléatoire se produit plusieurs fois

Dans ce cas les issues sont des combinaisons des issues de chaque résultat. Par exemple I1-I1-I3, I1-I2-I1...
Pour calculer des probabilités il est fortement recommandé de faire un dessin appelé "arbre de probabilité". Si l'expérience possède deux issues et se produit deux fois de suite, l'arbre sera comme ceci :

arbre de probabilités

Le nombre d'issues totales sera le nombre de branches, ici 4.


As-tu compris?

Une expérience aléatoire possède 2 issues.
On la répète trois fois de suite.
Combien y a t-il d'issues au total?



Probabilité d'un événement

Il est fréquent que l'on ne s'intéresse pas aux chances de réalisation d'une seule issue mais à celles d'un ensemble de plusieurs issues. Un ensemble de plusieurs issues s'appelle un événement.

Exemple
On lance un dé à 6 faces et on s'intéresse aux chances d'obtenir un nombre strictement plus petit que 3. Cette possibilité contient 2 issues.

Pour écrire des événements sans avoir à écrire des longues phrases qui commencent par "obtenir..." on utilise le langage et les notations sur les ensembles.

Exemple

lancer de dé événements


La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des issues qui le compose.


As-tu compris?

Question 1
(facile)

On tire au hasard une boule dans une urne qui contient 4 boules bleues et 5 boules violettes de mêmes dimensions.

urne avec boules

Quelle est la probabilité de tirer une boule violette?

Numérateur:
Dénominateur:



Question 2
(moyen)

On s'intéresse à la température qu'il fera demain.

probabilités
Quelle est la probabilité que demain à Paris à 14h il fasse plus de 15 degrés?



Question 3
(difficile)

On lance deux fois de suite une pièce de monnaie.

probabilités

Quelle est la probabilité d'obtenir deux fois pile?

Numérateur :
Dénominateur :




Union et intersection d'événements

Intersection

L'intersection de deux événements A et B, notée A∩B, est l'événement qui contient les issues communes aux issues de A et de B.

Union

L'union de deux événements A et B, notée A∪B, est l'événement qui contient toutes les issues de A et toutes celles de B.

Exemple

Expérience aléatoire : lancé d'un dé à 6 faces.
Événement A : "obtenir un nombre pair".
Événement B : "obtenir un nombre strictement supérieur à 3".
Événement A∩B : "obtenir un nombre pair et strictement supérieur à 3".
Événement A∪B : "obtenir un nombre pair ou strictement supérieur à 3".
A={2;4;6}.
B={4;5;6}.
A∩B={4;6}.
A∪B={2;4;5;6}.


As-tu compris?

Ecris l'union des événements A={1;2;3} et B={2;3;4}.
(les accolades s'obtiennent avec la touche Alt gr)

C=


Probabilité d'une union

La formule ci-dessous permet de calculer la probabilité de l'union de deux événements lorsqu'on connait la probabilité de chacun d'entre eux et la probabilité de leur intersection.

probabilité union

On doit enlever P(A∩B) à P(A)+P(B) car en calculant P(A)+P(B) on compte deux fois les issues qui sont à la fois dans A et dans B.




>>> Cours de première sur les équations du second degré >>>


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