1,3,5,7,9,11,13,15,17,19, etc.... et
5, -10, 20, -40, 80, -160, etc.... sont des suites

En maths une suite est une suite de nombres qui se suivent dans un ordre logique. Elles servent essentiellement à étudier des phénomènes répétitifs.

Suites

Si on appelle u une suite, alors on note son premier terme, son deuxième terme, son troisième, etc. Il y a deux façons de définir une suite:

- On peut donner la formule du terme général en fonction de n (pour le premier exemple, ).
- On peut donner son premier terme et une relation entre deux termes consécutifs. On dit alors que la suite est définie par récurrence. Pour le deuxième exemple, on aurait .

Une suite est dite croissante si le terme est toujours plus grand que le terme . Pour démontrer qu'une suite est croissante, on peut calculer et montrer que le résultat est positif. Pour le premier exemple, cela démontre que cette suite est croissante. De même si pour tout entier naturel n on a alors la suite u est dite décroissante.

Une suite est majorée si il existe un nombre M tel que pour tout nombre n, (tous les termes sont plus petits que M). M s'appelle alors un majorant de la suite. De même il existe des suites minorées. Une suite bornée est une suite qui est à la fois majorée et minorée. Les deux suites de l'exemple en haut ne sont pas bornées.

Suite arithmétique

Si la suite avance toujours d'un même nombre (par exemple 5, 10, 15, 20... ou -2, 8, 18, 28...) on dit que c'est une suite arithmétique.

Une suite est donc arithmétique lorsque - est constant. Le nombre r tel que l'on ait toujours s'appelle la raison de la suite.

Le premier exemple tout en haut est une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 2.

Il existe une formule qui permet de calculer la valeur de n'importe quel terme d'une suite arithmétique. Remarquons que:


Donc d'une manière générale, on a:
Pour la suite tout en haut si on souhaite par exemple calculer , on a: .

Il existe également une formule qui permet de calculer la somme des premiers termes d'une suite arithmétique, si on connaît le premier et le dernier de ces termes. Calculons la somme des 47 premiers termes de la suite des nombres impairs. Nous aurons besoin du dernier terme : ( est le 1er, donc est le 47ème terme).

Remarquons que :

En additionnant les deux égalités puis en divisant le résultat obtenu par 2 cela nous donne :


La somme des 47 premiers termes vaut 2207.

D'une manière générale, on a:

Suite géométrique

Si pour passer d'un terme au terme suivant on multiplie toujours par un même nombre, on dit que la suite est géométrique (aucun rapport avec la géométrie). Le quotient est constant et sa valeur q vérifie toujours . q est appelé la raison de la suite.

La deuxième suite tout en haut est une suite géométrique de premier terme et de raison (-2). Si on souhaite calculer , remarquons que:


D'une manière générale : Avec cette formule, on obtient .

Il existe également une formule qui donne la somme des termes d'une suite géométrique, c'est la suivante:

Avec cette formule, calculons la somme des 4 premiers termes de la suite géométrique de l'exemple:


On a bien 5 - 10 + 20 - 40 = - 25.