Cours de première
Cours de première
Nous savons additionner ou soustraire des vecteurs. Maintenant voyons la multiplication
de deux vecteurs entre eux, appelée produit scalaire.
Le produit scalaire possède de nombreuses applications en géométrie: il permet notamment de calculer des angles dans un
repère orthonormé.
Pour réaliser le produit scalaire de deux vecteurs, plaçons l'origine de ces vecteurs en un même point.
 |
ou |  |
Le produit scalaire de 
par 
, noté
,
est égal à la longueur AB multipliée par la longueur AH, éventuellement multipliée par -1 si H se retrouve
de l'autre côté de A.
Il est donc proportionnel à la longueur (aussi appellée norme) des vecteurs et dépend de l'angle qu'ils forment.
As-tu compris?
Quel est le produit scalaire des deux vecteurs rouges ci-dessous?
| Si les vecteurs forment un angle droit alors le point H se retrouve en A et le produit scalaire est nul. On dit alors que les 2 vecteurs sont orthogonaux. |  |
1. Si on note 
la mesure en
radian de l'angle entre ces deux vecteurs, on a:
. Donc:
2. Dans un repère orthonormé,
si 
et
,
alors 
.
Exemple:
Si 
et
, alors
.
Donc ces deux vecteurs ne sont pas orthogonaux.
On calcule avec un produit scalaire comme avec un produit normal.
Comme 
, on a toujours
.
Dans un triangle ABC quelconque, on en déduit :
D'où le théorème d'Al-Kashi:
Cette propriété est plus puissante que le théorème de Pythagore car elle permet de calculer
le 3ème côté d'un triangle lorsqu'on connaît 2 côtés et un angle qui ne mesure pas obligatoirement 90°.
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