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Cours de première S

7 - Produit scalaire

Le produit scalaire est le produit de deux vecteurs entre eux.

Le produit scalaire permet de calculer des équations de droites, de plans, de caractériser l'orthogonalité de vecteurs et de faire des démonstrations et divers calculs en géométrie. Il est également utile en sciences physiques.



Produit scalaire de deux vecteurs

Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre proportionnel à la longueur de chacun des vecteurs et dépendant de l'angle qu'ils forment.

L'opérateur du produit scalaire se note avec un point au lieu du ×.

Produit scalaire sur un dessin

Dans un plan muni d'un repère orthonormé prenons deux vecteurs partant d'un même point d'origine et formant un angle inférieur à 90 degrés.

Leur produit scalaire est le produit de la longueur du premier par la longueur du projeté orthogonal du deuxième sur la droite qui porte le premier.

dessin produit scalaire

Si l'angle est compris 90° et 180° c'est le nombre opposé.

dessin produit scalaire



As-tu compris?

Facile. Quel est le produit scalaire des vecteurs représentés ci-dessous?

vecteurs dans plan





Calculs avec le produit scalaire

On calcule avec le produit scalaire comme on calcule avec un produit normal.

Exemples
vecteurs dans plan

Il est possible de vérifier ces propriétés en les testant sur un dessin.

Le fait que le produit scalaire possède les mêmes propriétés que la multiplication traditionnelle justifie le fait de l'avoir défini de cette manière.


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Orthogonalité et norme

Orthogonalité

Si le produit scalaire de deux vecteurs est nul on dit que ces deux vecteurs sont orthogonaux.

Pour que deux vecteurs non nuls aient un produit scalaire nul il faut que leur droites d'application soient perpendiculaires (ainsi le projeté orthogonal du deuxième sur le premier est un point, de longueur nulle).

vecteurs orthogonaux


Norme

La norme d'un vecteur est une mesure de sa longueur relativement au repère dans lequel il est placé. On note la norme avec des doubles barres verticales.

Exemple:

norme vecteur

Un vecteur peut très bien avoir une norme différente de sa longueur en centimètres!

Dans un repère orthonormé, si coordonnées vecteur alors formule norme vecteur (théorème de Pythagore).



Calcul du produit scalaire

1. Avec la norme des vecteurs et l'angle qu'ils forment
On utilise la formule du cosinus.


Si x<90°

calcul produit scalaire
Si x>90°

calcul produit scalaire

On obtient la même formule dans les deux cas.

En notant angle orienté la mesure de l'angle orienté entre ces deux vecteurs, on a aussi :

formule produit scalaire

Et pour tous vecteurs vecteur et vecteur :

vecteur


2. Avec les coordonnées des vecteurs
Dans un repère orthonormé, si coordonnees vecteur et coordonnees vecteur alors on peut écrire décomposition vecteur et décomposition vecteur. Donc:

calcul produit scalaire

On a donc la formule produit scalaire.


Petite question

Les vecteurs coordonnées vecteur et coordonnées vecteur sont-ils orthogonaux? oui non


Application : le théorème d'Al-Kashi

Le théorème d'Al-Kashi permet de calculer des longueurs dans un triangle quelconque lorsqu'on connaît la mesure d'un angle et les longueurs des côtés adjacents à cet angle.

Le théorème d'Al-Kashi est plus puissant que le théorème de Pythagore car il ne nécessite pas la présence d'un angle droit!

triangle

Théorème

Dans un triangle ABC on a toujours :

théorème al-kashi


La démonstration de ce théorème utilise la décomposition de vecteurs et le produit scalaire. Tu peux t'entraîner à la refaire, c'est un très bon exercice!

Démonstration

Remarquons d'abord que pour tout vecteur vecteur u, comme carré vecteur, on a carré scalaire.

Dans un triangle ABC quelconque, on a donc :

démonstration théorème al-kashi

D'où la formule du théorème.



Entraînement

Donne un arrondi à 0,1° près de la mesure de l'angle aigu formés par les droites d'équation équation de droite et équation de droite dans un repère orthonormé.

°





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