Cours de première
Cours de première
Ce cours fait suite à celui de probabilités de seconde.
Dans bien des situations nous avons besoin de prendre des décisions en fonction des résultats d'une
expérience aléatoire: si demain il fait moins de 10 degrés je mettrai un pull, si
il fait plus de 20 degrés je mettrai un short, etc. Pour approfondir les probabilités nous avons besoin d'introduire la notion de
variable aléatoire qui est une variable dont les valeurs dépendent du résultat d'une expérience aléatoire.
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Définition Une variable aléatoire est une fonction, généralement notée avec une lettre majuscule, qui s'applique sur les issues d'une expérience aléatoire. Exemple On considère le jeu suivant: "On lance un dé à 6 faces. Si on obtient moins de 5 on perd un euro, si on obtient 5 on gagne deux euros, si on obtient 6 on gagne 3 euros". Le gain est une variable aléatoire. Appelons le X. X peut prendre les valeurs -1, 2, ou 3. |
L'espérance de X, noté E(X) est une mesure de ce que l'on peut espérer gagner en jouant une fois à ce jeu.
On calcule E(X) en multipliant tous les gains possibles par leurs probabilités.
Comme l'espérance est positive, ça vaut le coup de jouer à ce jeu.
L'écart-type de X, noté 
est une mesure du risque
que l'on prend en jouant une fois à ce jeu. Le calcul est beaucoup plus long. On calcule d'abord
la variance V(X) en effectuant la somme des produits des carrés des différences entre les valeurs prises par X et E(X) par leurs probabilités,
puis on calcule la racine carrée de la variance.
Remarque
Si on modifie le jeu de la façon suivante: "on perd 2 euros si on fait moins de 5, on gagne deux euros si on fait 5 et
on gagne 7 euros si on fait 6", et que l'on note Y le gain, alors l'espérance de Y est égale à celle de X, mais son écart-type
est plus grand (3,4). On peut espérer gagner autant, mais on risque de perdre ou de gagner plus.
La loi de probabilité d'une variable aléatoire est un tableau à deux lignes. On écrit
sur la première les valeurs prises par la variable aléatoire et sur la deuxième leurs probabilités respectives.
Par exemple pour Y:
Nous allons maintenant nous intéresser à ce qui se passe lorsque l'on reproduit plusieurs fois une même expérience.
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Prenons une pièce de monnaie et lançons là 3 fois de suite. On peut à chaque fois obtenir pile (P) ou face (F) avec la même probabilité. Les issues possibles de cette expérience aléatoire sont donc P-P-P, P-P-F, P-F-P, P-F-F, F-P-P, F-P-F, F-F-P et F-F-F, il y a 8 issues. On peut schématiser cette expérience avec le dessin ci-dessous appelé arbre de probabilités. |
Comme il y a équiprobabilité, la probabilité de chaque branche vaut 
.
La probabilité d'un événement constitué d'un chemin qui va de la gauche vers la droite est
égale au produit des probabilités qui se trouvent sur ce chemin. Par exemple la probabilité d'obtenir Face puis Pile puis Face est égal à
soit
.
Si un événement correspond à plusieurs chemins, par exemple E="obtenir une seule fois pile" on additionne les probabilités de
chaque chemin (*) qui forme l'événement. On obtient 
.
Pour obtenir ce résultat nous avons compté le nombre de branches qui correspondent à un seul "Pile". Mais si il y a beaucoup de branches on ne peut
pas toujours s'amuser à les compter! Il faut donc trouver une formule pour généraliser.
Si une expérience aléatoire consiste en la répétition n fois d'une expérience qui ne peut se terminer que de
deux façons différentes (succès ou échec) le nombre de possibilités d'obtenir p succès dans le résultat
final est donné par la formule 
. Ce nombre s'écrit aussi
. n! se lit "factorielle n", c'est le produit de tous les nombres
entiers de 1 à n (par exemple 4!=24).
Pour notre événement E, on aurait eu n=3 et p=1, donc 
possibilités
d'obtenir une seule fois "pile". On a bien 
.
Les nombres , aussi appelés coefficients binomiaux,
sont également utiles dans bien d'autres situations. En effet ils correspondent au nombre de sous-ensembles de p éléments que l'on peut former à partir d'un ensemble de n éléments.
Ces nombres apparaissent aussi dans la formule qui permet de développer (a+b)^n.
On peut les retrouver avec un dessin appelé Triangle de Pascal.
Ainsi, on a par exemple 
.
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