Comprendre les maths

Cours de première

6 - Probabilités



Série : S ES L STD2A STI2D ST2S STL STMG Autre

Les probabilités sont la partie des mathématiques qui s'intéressent au hasard.

Nous avons déjà introduit les probabilités en seconde avec beaucoup de vocabulaire spécifique (expérience aléatoire, univers, événement,...) et le calcul de probabilités dans des cas simples.

Parfois on doit associer des nombres aux résultats d'une expérience aléatoire (si demain un client achète mon produit je gagne 15 euros, si il ne l'achète pas je perds 5 euros...) pour étudier des situations particulières.
La notion de variable aléatoire est utile dans ce cas.


Variable aléatoire

Une variable aléatoire est une fonction qui s'applique sur les issues d'une expérience aléatoire.

Exemple
Considérons un jeu dont la règle est la suivante:
"On lance un dé à 6 faces. Si le nombre obtenu est strictement inférieur à 5 on perd un euro, si il est égal à 5 on gagne deux euros, si on obtient 6 on gagne 3 euros".

Le gain à ce jeu est une variable aléatoire. Appelons le G. G peut prendre les valeurs -1, 2, ou 3.

lancé de dés





Loi de probabilité

La loi de probabilité d'une variable aléatoire est un tableau à deux lignes.

Sur la première ligne on inscrit les valeurs prises par la variable aléatoire et sur la deuxième on inscrit leurs probabilités.

La probabilité que la variable aléatoire prenne une valeur xi se calcule en effectuant la somme des probabilités des issues qui mènent à xi. Pour le jeu ci-dessus on aurait:

loi de probabilité



Espérance, variance, écart-type

Espérance

L'espérance de G, notée E(G) est un indicateur de ce que l'on peut espérer gagner en jouant une fois à ce jeu.
E(G) se calcule en multipliant tous les gains possibles par leurs probabilités.

calcul esperance mathématique

Ça vaut le coup de jouer à ce jeu car l'espérance est positive.


Variance et écart-type

L'écart-type de G, noté écart type est un indicateur du risque que l'on prend en jouant une fois à ce jeu.

Il faut d'abord calculer la variance V(G) en effectuant la somme des produits des carrés des différences entre les valeurs prises par G et E(G) par leurs probabilités. Ensuite on calcule la racine carrée de la variance.

calcul variance

calcul écart-type


Remarque

Si on modifie le jeu de la façon suivante: "on perd 2 euros si on fait moins de 5, on gagne deux euros si on fait 5 et on gagne 7 euros si on fait 6", et que l'on note Y le gain, alors l'espérance de Y est égale à celle de X, mais son écart-type est plus grand (3,4). On peut espérer gagner autant, mais on risque de perdre ou de gagner plus.


As-tu compris?


Question 1. Quelle est l'espérance de la variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée ci-dessous?

loi de probabilité

E(X)=






Répétition d'expériences identiques

Nous allons maintenant voire comment calculer des probabilités quand une même expérience est répétée plusieurs fois de suite, dans le cas où le résultat d'une réalisation n'influe pas sur le résultat des suivantes.

Exemple
On joue à pile ou face avec une pièce de monnaie 3 fois de suite et on veut calculer la probabilité d'obtenir une seule fois pile.

On peut schématiser cette situation avec un dessin appelé "arbre de probabilités". Pour chaque réalisation on dessine deux branches et on écrit sur chaque branche la probabilité correspondante.

arbre de probabilités

La probabilité d'une issue se calcule en effectuant le produit des probabilités inscrites sur les branches qui mènent à elle : ici fraction pour chaque issue, soit fraction.

La probabilité d'un événement se calcule en effectuant la somme des probabilités des issues qui lui correspondent.
Par exemple la probabilité d'obtenir une seule fois pile est probabilité.

As-tu compris?

On joue 3 fois de suite à une machine à sous. A chaque fois la probabilité de gagner est de 0,4. Quelle est la probabilité de gagner deux fois et de perdre une fois? Ecris le résultat sous forme décimale.






La loi binomiale

Pour l'instant ce n'est pas trop difficile car nous pouvons compter les issues.

Mais que se passe-t-il si on lance 10 fois de suite une pièce de monnaie et qu'on souhaite connaître la probabilité d'obtenir 7 fois pile? On ne vas pas dessiner l'arbre et tout compter! Bonne chance!

La loi binomiale permet de répondre à cette question.

La loi binomiale permet de calculer des probabilités dans le cas de la répétition d'une expérience à deux issues (le résultat d'une expérience ne doit pas influer sur le résultat des suivantes).

Pour utiliser la loi binomiale nous avons besoin de nombres appelés "coefficients binomiaux".


Les coefficients binomiaux

En notant n le nombre de réalisations de l'expérience, S pour "succès", E pour "échec", p la probabilité du succès et s le nombre de succès, nous avons:

arbre loi binomiale

arbre loi binomiale

arbre loi binomiale

Les nombres en bleu sont appelés les coefficients binomiaux.

Il sont notés combinaisons. On a :
combinaisons
combinaisons
combinaisons

On peut retrouver ces nombres avec un dessin appelé triangle de Pascal ou avec la formule formule coefficients binomiaux (!=factorielle).


Construction du triangle de Pascal

Triangle de Pascal


Les coefficients binomiaux servent aussi à développer (a+b)n avec la formule suivante appelée "formule du binôme de Newton" :

Formule du binôme de Newton

Par exemple Exemple formule binôme de Newton.


La loi binomiale

Si une expérience à deux issues est reproduite n fois sans que les résultats n'influent sur les résultats suivants, et si on note p la probabilité d'une des deux issues (appelons la "succès") alors la probabilité d'obtenir k succès est loi binomiale.

As-tu compris?

On joue 10 fois de suite à une machine à sous. A chaque fois la probabilité de gagner est de 0,6. Quelle est la probabilité de gagner 5 fois? Donne un arrondi du résultat à 0,01 près.




>>> Produit scalaire >>>


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