Comprendre les maths

Cours de première

2 - Limites



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Limites de suites (Tle)
Limites de fonctions (Tle)




Lire cette page? A la limite...

Les limites de fonction permettent de décrire le comportement d'une fonction lorsque x devient très petit, très grand, ou se rapproche d'une valeur pour laquelle la fonction n'est pas définie.


Limite de fonction

La notation limite infinie (se lit: "x tend vers plus l'infini") symbolise un déplacement très loin à droite sur l'axe des abscisses.

On écrit limite fonction infini pour décrire le comportement de f lorsque limite infinie: vers quoi tendent les nombres f(x) lorsque limite infinie. Quelques exemples:

limite de fonction
limite de fonction
limite de fonction
limite de fonction
limite de fonction
limite de fonction
limite de fonction
limite de fonction

As-tu compris?

Ci-dessous, combien vaut limite?

exemple limite de fonction


limite 0 1 limite


Asymptotes

Une asymptote à une courbe est une droite qui se rapproche de plus en plus de la courbe sans jamais la toucher.

Il existe 3 types d'asymptotes.

asymptote horizontale L'asymptote horizontale, lorsque equation asymptote horizontale.

Son équation est y=a.
L'asymptote verticale, lorsque equation asymptote verticale.

Son équation est x=a.
asymptote verticale
asymptote oblique L'asymptote oblique. Si son équation est equation asymptote oblique alors asymptote oblique.

La hauteur du trait vert, qui représente la distance entre la courbe et son asymptote, tend vers zéro lorsque x tend vers l'infini.


Principales limites

Voici les limites des fonctions les plus courantes:



Fonction carré:

limites fonction caree
Fonction cube:

limites fonction cube
Fonction inverse:

limites fonction inverse


Pour la fonction inverse j'ai écrit quatre limites car x peut tendre vers 0 en venant de la gauche (dans ce cas la limite vaut infini) ou en venant de la droite (dans ce cas la limite vaut infini).


Opérations sur les limites

Nous allons maintenant apprendre à calculer la limite d'une fonction. Pour cela voyons quelques petites propriétés.

Propriétés

La limite d'une somme de fonctions est égale à la somme des limites des fonctions.
La limite d'un produit de fonctions est égale au produit des limites des fonctions.
Même chose pour la soustraction et la division; cependant attention, on ne peut pas déterminer la limite:

- d'une différence de fonctions si celles-ci tendent toutes les 2 vers le même infini.
- d'un produit de fonctions si une tend vers 0 et l'autre vers l'infini.
- d'un quotient de fonctions si celles-ci tendent toutes deux vers 0 ou vers l'infini.

On dit que ce sont des formes indéterminées. Pour tous les autres cas, c'est de la logique : l'infini plus un nombre ça fait l'infini, l'infini fois un nombre ça fait l'infini, zéro divisé par l'infini ça fait 0, un nombre divisé par l'infini ça fait zéro, etc...

Pour s'entraîner

Que donnerait limite avec infini?

limite 0 forme indéterminée limite


Lorsque l'on est confronté à une forme indéterminée, la solution la plus courante consiste à factoriser par le terme de plus haut degré. Voici deux exemples de calculs de limites.

Exemples de calculs de limites


Exemple 1

Calcul de calcul de limite.

Il y a une forme indéterminée car le premier terme tend vers l'infini et le deuxième aussi. Factorisons par le terme de plus haut degré.

factorisation pour calcul de limite

Cette fois on va pouvoir conclure. Pour rédiger on peut utiliser des accolades.



calcul de limite

calcul de limite


Exemple 2

Calcul de calcul de limite avec forme indeterminee.

Il y a encore une forme indéterminée car le haut tend vers infini et le bas tend vers infini. Factorisons et simplifions.

factorisation pour calcul de limite

Il ne reste plus qu'à "passer aux limites":



calcul de limite




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