maths

Cours de première

4 - Etude de fonction


Nous avons appris à calculer la dérivée d'une fonction. Maintenant nous allons appliquer nos connaissances à des problèmes concrets. Souvenons-nous qu'une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive et décroissante lorsque sa dérivée est négative.

Dans le chapitre précédent nous cherchions à dessiner le patron d'une boîte à partir d'un rectangle de dimensions données, le but étant d'obtenir une boîte de volume maximal.

patron boite

La fonction qui donne le volume de la boîte en fonction de sa hauteur est f(x)=x(20-2x)(10-2x). Pour trouver la valeur de x qui rend cette fonction maximale, nous allons étudier les variations de f.


Etude des variations d'une fonction

Méthode

Pour étudier les variations d'une fonction:

  • 1. On calcule sa dérivée.
  • 2. On étudie le signe de la dérivée.
  • 3. On dessine un tableau avec une ligne qui donne le signe de f' en fonction de x et en dessous une ligne dans laquelle on en déduit les variations de f.
  • 4. On conclut.

    • Exemple

    Pour notre fonction f(x)=x(20-2x)(10-2x), qui peut aussi s'écrire, en développant, f(x)=4x³-60x²+200x (calcul).

  • 1. On calcule f'(x). On obtient f'(x)=12x²-120x+200.

  • 2. On cherche les valeurs pour lesquelles f'(x)>0 et celles pour lesquelles f'(x)<0.
    Résolvons l'inéquation 12x²-120x+200>0. C'est une inéquation du deuxième degré. Nous savons la résoudre. On obtient que 12x²-120x+20 est positif sur Intervalle et négatif sur Intervalle.

  • 3. On dessine un tableau avec une ligne qui donne le signe de f' en fonction de x, et en dessous on déduit les variations de f.

    Tableau de varfiations

  • 4. On conclut.
    Dans le cas de notre problème remarquons d'abord que x doit être compris entre 0 et 5 sinon on ne pourrait pas construire la boîte. Sur l'intervalle [0;5], f est d'abord croissante de 0 à Valeur puis décroissante de Valeur à 5. Elle admet donc un maximum local en Valeur. C'est cette valeur que l'on doit utiliser pour obtenir un volume maximal. Le plus grand volume que l'on pourra espérer obtenir sera Volume , soit 192,45cm³ ou 1,92 Litre.

    • Pour s'entraîner

    Donne un arrondi à 0,0001 près de la valeur de x qui rend maximale la fonction Exercice dérivée sur l'intervalle [-10;0].







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