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Cours de première

4 - Etude de fonction



Série : S ES L STD2A STI2D ST2S STL STMG Autre


Dans ce cours nous allons apprendre à étudier les variations d'une fonction afin de pouvoir dessiner son tableau de variation et connaître ses minimums et maximums sans avoir besoin de sa représentation graphique.

Nous étudierons ensuite quelques fonctions utiles.



Etude des variations d'une fonction

Méthode

Pour étudier les variations d'une fonction:




Exemple

patron boite

Dans le chapitre précédent nous avions besoin de connaitre les variations de la fonction f(x)=x(20-2x)(10-2x) afin de trouver la valeur de x permettant de construire une boite de volume maximal à partir d'un support rectangulaire de dimensions 20*10 cm.

La fonction f(x)=x(20-2x)(10-2x) s'écrit aussi f(x)=4x³-60x²+200x (calcul).

Etude des variations

1. f'(x)=12x²-120x+200.

2. On doit résoudre l'inéquation 12x²-120x+200>0 (ou l'inéquation 12x²-120x+200<0).
C'est une inéquation du deuxième degré. Sa résolution (voir) nous amène au résultat suivant :
12x²-120x+20 est positif (+) sur Intervalle et négatif (-) sur Intervalle.

3. 4. 5. et 6.

Tableau de varfiations



Solution du problème
On voit que sur l'intervalle [0;5] correspondant aux valeurs de x possibles pour construire la boîte, f est croissante de 0 à Valeur puis décroissante de Valeur à 5. Elle admet donc un maximum pour x=Valeur. C'est cette valeur (environ 2,11) que l'on doit utiliser pour dessiner le patron. On obtiendra un volume de Volume , soit 192,45cm³ (1,92 litre).

As-tu compris?

Donne un arrondi à 0,0001 près de la valeur de x qui rend maximale la fonction Exercice dérivée sur l'intervalle [-10;0].







Fonctions usuelles

En seconde nous avons étudié deux fonctions qui apparaissent souvent dans les problèmes : la fonction carré et la fonction inverse. Voyons maintenant d'autres fonctions utiles.

Fonction racine carrée

La fonction Fonction racine carrée est définie sur [0;+∞[ car il n'est pas possible de calculer la racine carrée d'un nombre négatif.
Elle est toujours croissante car sa dérivée Dérivée racine carrée est toujours positive.

Graphique fonction racine carrée


Fonction valeur absolue

La fonction Fonction valeur absolue , appelée fonction valeur absolue, est la fonction qui change les nombres négatifs en nombres positifs sans changer les nombres positifs. Par exemple |-10|=10 et |8|=8. On a |x|=x si x>0 et |x|=-x si x<0 (l'opposé d'un nombre négatif est un nombre positif).

La fonction |x| est décroissante sur ]-∞;0] car sur cet intervalle elle vaut -x et sa dérivée est donc -1.
Elle est croissante sur [0;+∞[ car sur cet intervalle elle vaut x et sa dérivée vaut donc 1.
Elle est définie sur R.

Graphique fonction valeur absolue



Fonction cube

La fonction Fonction valeur absolue est définie sur R car on peut toujours calculer le cube d'un nombre.

Comme sa dérivée est 3x² et que 3x² est toujours positif, la fonction cube est toujours croissante.

Graphique fonction cube




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