Etudier une fonction, c'est dire si la courbe de la fonction monte, si elle descend, quelles sont ses limites, éventuellement ses minimums, ses maximums,... et rassembler ces informations dans un tableau appelé tableau de variation de la fonction.

Pour étudier une fonction

1. On calcule sa fonction dérivée.
2. On étudie le signe de la fonction dérivée, et on en déduit les variations de la fonction.
3. On calcule les limites de la fonction aux bornes de son ensemble de définition ainsi que les valeurs de la fonction pour lesquelles f' change de signe. Enfin on dessine le tableau de variation.

Exemples

Exemple 1
Etude des variations de , que l'on peut aussi noter .

1. On calcule la dérivée. Ici .

2. On étudie le signe de la dérivée : , donc f' est positive lorsque (donc f est croissante lorsque , et décroissante sinon).

3. On calcule les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. Ici, .


Il y a une forme indéterminée pour le calcul de la limite en . On factorise donc par le terme de plus haut degré :


On calcule f(1) : .
On peut alors dessiner le tableau de variations de la façon suivante :



Exemple 2
Etude des variations de sur .

Pour calculer la dérivée, posons et . Alors et . Donc:


Ici l'étude du signe de la dérivée est simple car le haut est toujours positif (voir inéquations du second degré) et le bas aussi (le carré d'une expression est toujours positif). Donc f' est toujours positive.

Il reste à calculer les limites de f et on obtient finalement le tableau suivant:

Equation de la tangente

Il est possible de calculer l'équation de la droite tangente à la courbe d'une fonction f en un point x=a.



Comme toute droite, cette droite possède une équation qui peut s'écrire sous la forme .

Nous savons que le coefficient directeur de la tangente est égal à f'(a). L'équation de la tangente s'écrit donc .

Le point appartient à la droite, ses coordonnées vérifient donc son équation:


En remplaçant cette valeur de p dans l'équation on obtient la formule:


Pour calculer l'équation de la tangente à une fonction f en x=2 par exemple, tu dois donc juste calculer f'(2), f(2), remplacer les résultats dans la formule ci dessus et développer et réduire l'expression obtenue.