Une équation du deuxième degré est une équation de la forme .

Résolution d'une équation du deuxième degré

Si tu n'es pas en première S, tu peux sauter toute la partie comprise entre les deux traits verts.

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Alors voila pour les bons accrochez vous, remarquons d'abord que si le nombre a est égal à 0 l'équation est du premier degré et nous savons la résoudre. Sinon, nous pouvons factoriser l'équation par a.


Nous allons essayer de factoriser au maximum ce résultat afin de se ramener à une équation produit. En utilisant la première identité remarquable nous factorisons une première fois.

Pour la suite du calcul posons . L'expression s'appelle la forme canonique du trinôme . Remarquons que si l'équation ne peut pas avoir de solution car la somme de deux nombres positifs ne peut pas être nulle. Si alors on trouve facilement que l'équation possède une seule solution qui vaut . Si on factorise de nouveau, en utilisant cette fois la troisième identité remarquable.

On obtient deux solutions: ou .

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Quand on veut résoudre une équation de la forme , par exemple l'équation , on calcule donc en premier le nombre ( est une lettre grecque qui se lit "delta").

Ensuite il y a 3 cas:
- Si alors l'équation n'a pas de solution.
- Si alors l'équation admet une unique solution qui vaut .
- Si alors l'équation admet deux solutions, qui dans notre cas valent :

Représentation graphique

Une fonction se représente par une courbe appelée parabole.

Si le nombre a devant x² est positif, alors le sommet est en bas de la parabole, sinon il est en haut.

La parabole touche l'axe des abscisses autant de fois que l'équation admet de solutions.


Ces considérations sont utiles lorsque l'on résout une inéquation du second degré.

Inéquation du second degré

Pour résoudre une inéquation du type , on commence par résoudre l'équation , on fait un petit dessin comme ci dessus pour deviner l'allure de la courbe, puis on lit les solutions sur le graphique. Pour cet exemple, on obtient: