Comprendre les maths

Cours de première

1 - Équations du deuxième degré



Série : S ES L STD2A STI2D ST2S STL STMG Autre


Une équation du deuxième degré est une équation constituée de termes avec des x², des x et des nombres.
Exemple : 2x²+3x+4=0.

Les équations du deuxième degré permettent de résoudre des problèmes en sciences physiques, en sciences naturelles et en économie.

Nous avons déjà vu en seconde comment résoudre une équation du deuxième degré lorsqu'une factorisation est possible (en trouvant un facteur commun ou en utilisant une identité remarquable) : on se ramène alors à une équation produit facile à réoudre.

Nous allons maintenant apprendre à résoudre des équations de la forme ax²+bx+c quelque soient les nombres a, b et c.


Résolution d'une équation du deuxième degré

Considérons une équation de la forme équation deuxième degré.
Nous allons chercher à exprimer les éventuelles solutions de cette équation en fonction des coefficients a, b et c.

Nous allons pour cela factoriser l'expression de gauche afin d'obtenir une équation produit.

Technique

1. On factorise par a (a≠0 car sinon c'est une équation du premier degré que nous savons résoudre).

forme canonique

2. On multiplie et on divise le terme du milieu par 2 puis on ajoute et on soustrait le nombre nombre afin de faire apparaître le résultat du développement de la première identité remarquable.

forme canonique
forme canonique

3. On factorise avec la première identité remarquable et on simplifie ce qui reste à droite.

forme canonique
forme canonique





Forme canonique

Pour simplifier la suite du calcul posons formule delta (symbole delta est une lettre grecque qui se lit "delta").

L'expression forme canonique s'appelle la forme canonique de forme canonique.


Différents cas

Maintenant nous voyons que:


Méthode de résolution

Pour résoudre une équation du deuxième degré de la forme équation deuxième degré, on pourrait faire tous les calculs ci-dessus en remplaçant a, b et c par les nombres de notre équation. Pour aller plus vite nous utiliserons directement les formules encadrées en rouge.

1. On calcule le nombre calcul de delta.
2. On regarde le signe de delta.
- Si delta negatif l'équation n'a pas de solution.
- Si delta nul l'équation possède une solution. On la calcule avec la formule delta nul solution unique.
- Si delta positif l'équation possède deux solutions. On les calcule avec les formules solutions equation 2eme degre et solutions equation 2eme degre.


Exemple

Equation équation 2eme degré.

1. On calcule delta. équation 2eme degré.
2. Comme delta est positif, il y a deux solutions : équation 2eme degré et équation 2eme degré.



As-tu compris?

Question 1. Combien de solutions admet l'équation 3x²+2x+1=0 ?





Inéquation du deuxième degré

Allure de la courbe f(x)=ax²+bx+c

Une fonction la parabole, graphique fonction second degre se représente par une courbe appelée parabole.

Si le nombre a devant x² est positif, alors le sommet est en bas de la parabole et les branches sont tournées vers le haut. Sinon c'est le contraire.

parabole parabole

La parabole touche l'axe des abscisses autant de fois que l'équation equation 2eme degre possède de solutions.

parabole parabole parabole



As-tu compris?

inéquation 2ème degré
Pour cette courbe:








Méthode

Pour résoudre une inéquation du second degré, c'est à dire une inéquation de la forme ax²+bx+c<0 ou ax²+bx+c>0.


Exemple

Inéquation signe second degre.

Entraînement

Quelles sont les solutions de l'inéquation inéquation 2ème degré?
(écris inf pour infini).

S=



>>> Nombre dérivé >>>


Les équations du second degré sur cmath.fr

cours, exercices