Attention, ce cours est le plus compliqué de la classe de première!

Dérivée d'une fonction en un point

La dérivée est un outil mathématique qui permet de quantifier la pente d'une courbe (dire si elle monte de beaucoup ou pas).

Prenons une fonction f et un point a sur l'axe des abscisses. La pente de la courbe de f au point d'abscisse a, c'est la pente de sa tangente en ce point (ici le mot tangente n'a rien à voir avec la trigonométrie).


Nous savons déterminer la pente (le coefficient directeur) d'une droite passant par deux points A et B avec la formule
Sur notre dessin nous n'avons qu'un point M. Pour en avoir un deuxième prenons un nombre h au hasard et plaçons sur la courbe le point N d'abscisse a+h.



Les points M et N ont pour coordonnées :

La droite verte (MN) a donc pour coefficient directeur :


Plus h est petit, plus la droite verte se rapproche de la droite rouge, et lorsque h tend vers 0, se rapproche du coefficient directeur de la droite rouge en x=a. Le nombre , si il existe, est égal à la pente de la droite rouge, et donc de la courbe de f, en x=a. Il est noté . C'est le nombre dérivé de f au point a.



Dans l'exemple ci-dessus, , mais , et .


Exemple de calcul du nombre dérivé en un point
Calcul du nombre dérivé de la fonction en x = 2:

Dérivée d'une fonction

La fonction s'appelle la fonction dérivée de f.

Ci-dessous un exemple à gauche de fonction f et à droite de sa dérivée f' avec quelques points pour se repérer.



Quand une fonction est croissante sa dérivée est positive, quand une fonction est décroissante sa dérivée est négative.

Règles de dérivation

Voyons maintenant les règles qui permettent de calculer la dérivée d'une fonction. Pour chaque exemple la fonction dérivée de f est donnée en dessous.

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La dérivée d'une fonction constante vaut toujours 0 (la tangente étant horizontale, son coefficient directeur vaut 0).

Dérivation d'un produit, d'un quotient

La dérivée d'une somme ou d'une différence de fonctions est égale à la somme ou à la différence des dérivées des fonctions. Par exemple, si alors .

Pour le produit, le quotient, ou la composition (fonction de fonction), ce n'est pas aussi simple, il y a des formules. Si u et v sont deux fonctions, alors:


La 3ème formule est généralement étudiée seulement en terminale.

Exemples

Avec un produit
Pour calculer la dérivée de , on pose et . Alors et .
En appliquant la formule: .


Avec un quotient
Pour calculer la dérivée de , on pose et . Alors et . Avec la formule du quotient:

On peut s'amuser à développer puis à réduire le haut par contre le bas il vaut mieux le laisser comme ça (c'est pratique pour le chapitre suivant).


Avec une fonction composée
Pour calculer la dérivée de , on pose et , alors : et . En appliquant la formule de dérivation d'une composée de fonctions: