Comprendre les maths

Cours de première

2 - Nombre dérivé



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Le nombre dérivé a été inventé pour mesurer la pente des courbes.

Le nombre dérivé d'une fonction en un point est une mesure de la pente de la courbe de cette fonction en ce point.

C'est utile pour comparer les augmentations d'une variable à différents instants.
Le nombre dérivé permet également de deviner le tableau de variation d'une fonction sans connaître sa représentation graphique (voir étude de fonction).


Exemple : lancement d'une fusée


nombre dérivé sur un graphique Le nombre dérivé au point d'abscisse T1 est supérieur au nombre dérivé au point d'abscisse T2 car la courbe monte plus vite.

L'accélération de la fusée à l'instant T1 est donc plus grande que l'accélération à l'instant T2 (bien que la vitesse soit inférieure).



Le nombre dérivé d'une fonction en un point d'abscisse a est d'autant plus grand que la courbe monte vite en ce point. Si la courbe descend le nombre dérivé est négatif.


Comprends-tu?

A ton avis, le nombre dérivé au point d'abscisse a est-il inférieur ou supérieur à celui au point d'abscisse b?lecture nombre dérivé

inférieur supérieur







Voyons maintenant comment se calcule le nombre dérivé.



Calcul du nombre dérivé d'une fonction en un point


1. La tangente

On appelle tangente à une courbe en un point la droite qui touche la courbe en ce point en suivant la même direction que la courbe en ce point.

Comme nous savons mesurer la pente d'une droite (avec le coefficient directeur) on dit que le nombre dérivé d'une fonction en un point est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de cette fonction en ce point.


Exemples

tangente La droite rouge est la tangente à la courbe bleue au point d'abscisse a.

Le nombre dérivé de f en a est donc le coefficient directeur de la droite rouge.


2. Rappels sur le coefficient directeur

Il y a deux manières d'obtenir le coefficient directeur d'une droite.

Exemple

coefficient directeur tangente


Question

Par le calcul. Une droite passe par les points E(-3;0) et F(0;15). Quel est son coefficient directeur?






3. Nombre dérivé

Comme déjà écrit plus haut, le nombre dérivé d'une fonction f en un nombre a est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a.

Le nombre dérivé de f en a est noté f'(a).

As-tu compris?

Combien vaut f'(1)?

Lecture graphique nombre dérivé






Maintenant que nous savons lire le nombre dérivé sur un graphique, nous allons voir comment on le calcule à partir de l'expression de la fonction!

4. Calcul du nombre dérivé en un point

Considérons un nombre a et une fonction f dont on connaît l'expression, et cherchons une formule permettant de calculer f'(a).

coefficient directeur tangente


Nous devons calculer le coefficient directeur de la droite rouge uniquement à partir de f et de a.

Pour calculer le coefficient directeur nous ne connaissons qu'une formule : formule coefficient directeur.

Pour utiliser cette formule nous avons besoin des coordonnées de deux points de la droite.
Mais nous n'avons les coordonnées que d'un seul : coordonnées de A.

Prenons un donc nombre h au hasard et introduisons le point coordonnées de B.

coefficient directeur tangente


Nous pouvons maintenant calculer le coefficient directeur de la droite (AB).

calcul coefficient directeur

Nous obtenons un résultat mais bien sûr cette droite verte (AB) n'est pas la tangente que nous recherchions!

Cependant nous remarquons que plus h est proche de zéro, plus la droite verte est proche de la droite rouge, et plus le nombre c(h) que nous pouvons calculer est proche de f'(a).

Nous allons donc "faire tendre" h vers 0 et alors c(h) va "tendre vers" f'(a).

On écrit limite ce qui se lit : "limite quand h tend vers zéro de c(h) est égal à f'(a)".

La notion de limite n'est étudiée qu'en terminale, mais tu peux tout de même comprendre.

Nous avons donc la formule :

Formule dérivée en un point


Cette formule est la plus difficile à comprendre de la classe de première, si tu as compris, il ne peut plus rien t'arriver!


5. Utilisation de la formule

Méthode
Pour calculer le nombre dérivé d'une fonction f en un point a:



Exemple
Calcul de f'(2) avec la fonction fonction f qui à tout nombre x associe le nombre x au carré.

1. On calcule le nombre Taux de variation :

Formule dérivée en un point

2. On remplace h par zéro. On obtient 4. Donc f'(2)=4.

Parabole Nous avons calculé une mesure de la pente de cette courbe au point d'abscisse 2.


Entraînement

Pour t'entraîner tu peux essayer de calculer f'(3) avec Fonction inverse.
C'est assez long et technique (environ 5 minutes) mais c'est un bon exercice.

Tu peux voir la correction en cliquant sur le bouton ci-dessous.




Équation de la tangente

Pour une fonction et un point donnés, il existe une formule qui permet de calculer l'équation de la tangente à la courbe de la fonction en ce point.

Formule

La tangente à la courbe d'une fonction f au point d'abscisse a a toujours pour équation :

Equation de la tangente

(démonstration)


Utilisation

Pour calculer l'équation de la tangente à la courbe d'une fonction f en un point d'abscisse a.

Méthode
1. On calcule f(a) et f'(a).
2. On remplace les résultats obtenus dans la formule.
3. On développe et on réduit le résultat.

Exemple

Équation de la tangente à la courbe de fonction qui à tout nombre x associe le nombre x au carré en a=2.

1. f(2)=4 et f'(2)=4.
2. On obtient y=4(x-2)+4.
3. On obtient y=4x-4.


Entraînement

Ecris sous la forme y=mx+p l'équation de la tangente à la courbe de fonction f qui à tout nombre x associe le nombre x au carré title='fonction f qui à tout nombre x associe le nombre x au carré'> en a=3.

m= p=




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