Comprendre les maths

Cours de première

7 - Barycentre


Définition du barycentre

triangle

Prenons une plaque triangulaire, posons dessus au point A un poids de 1kg, en B un poids de 2kg, en C un poids de 3 kg, et cherchons le point où l'on pourra faire tenir cette plaque en équilibre. Ce point est appelé le barycentre du système systeme points ponderes. Notons le G (il n'a rien à voir avec le centre de gravité du triangle). Si on veut determiner sa position sur la plaque, il faut savoir qu'il est caractérisé par la relation : barycentre.
D'une manière générale, le barycentre G de points ponderes vérifie toujours propriete du barycentre.

Attention tout de même, le barycentre n'existe pas lorsque la somme des coefficients associés aux points est nulle. Par contre l'éventuelle présence de coefficients négatifs ne gène pas.

Construction du barycentre

Pour construire le barycentre sur le dessin, il faut utiliser la propriété ci-dessus et décomposer 2 des 3 vecteurs en fonction de vecteurs que l'on peut tracer. C'est assez simple mais long :

construction barycentre

G est donc ici :

vecteurs triangle

Propriété fondamentale du barycentre

Si G est le barycentre du système points ponderes, alors pour tout point M du plan, on a :

propriété barycentre

Le dessin ci-dessous avec les chiffres du début l'illustre parfaitement.

dessin barycentre

Dans la pratique et dans les problèmes il faut en général placer M à un endroit particulier pour démontrer certaines choses.

Coordonnées du barycentre

Si A, B, et C sont 3 points dans un repère orthonormé, avec coordonnées points, et que G est le barycentre de barycentre systeme points ponderes, alors les formules suivantes donnent les coordonnées de G :

coordonnées barycentre


Les formules du barycentre se généralisent bien sur dans le cas où il y aurait plus de 3 points, on peut également prendre le cas particulier plus simple avec seulement 2 points. Enfin il faut savoir que le barycentre d'un système de points qui ont tous le même coefficient (le même poids) s'appelle l'isobarycentre.



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