Cours et exercices de maths

Cours de terminale

7 - Suites et récurrence (S)


Vocabulaire

Nous avons vu dans le cours de première sur les suites ce qu'est une suite croissante, décroissante, monotone, majorée, minorée, bornée. Voyons maintenant ce qu'est une suite convergente et ce que sont des suites adjacentes.

Une suite convergente est une suite qui tend vers un certain nombre, appelé limite de la suite, lorsque n tend vers l'infini. C'est donc une suite u telle qu'il existe un nombre réel l tel que limites de suite. Une suite qui n'est pas convergente est dite divergente.

Deux suites adjacentes sont deux suites, l'une croissante, l'autre décroissante, dont les termes se rapprochent lorsque n tend vers l'infini, c'est à dire telles que limites de suites adjacentes.

Exemples

- la suite définie pour tout n par suite est croissante, monotone, majorée, minorée, bornée, et convergente. Elle admet pour limite 2.
- la suite définie pour tout n par suite est majorée, minorée, bornée et divergente.

Remarquons qu'une suite croissante est toujours minorée par son premier terme, et une suite décroissante est toujours majorée par son premier terme. Une suite monotone peut être convergente ou divergente.





Propriétés

Toute suite croissante et majorée est convergente et toute suite décroissante et minorée est convergente (mais attention, leur limite n'est pas forcément égale au majorant ou au minorant).
Si deux suites sont adjacentes, alors elles sont convergentes et elles convergent vers la même limite.

Suite croissante majorée Suites adjacentes
suite suite



Suites définies par récurrence

Une suite définie par récurrence est une suite dont on donne la valeur d'un terme ainsi qu'une relation reliant son terme général d'ordre n au terme suivant d'ordre n+1. Par exemple, la suite suite est définie par récurrence. Soit f la fonction qui donne terme suite en fonction de terme suite. Si on sait que la suite u est convergente et que la fonction f est continue en l, alors, en passant à la limite dans la relation de récurrence, on obtient l'égalité équation. Cette équation permet généralement de calculer l.



Notons aussi que pour des suites définies de cette manière, on peut déterminer une valeur approximative de ses termes et conjecturer sur la convergence ou non de la suite à l'aide d'un dessin. Traçons dans un repère orthonormé la courbe représentative de f, et sur l'axe des abscisses plaçons le premier terme terme de suite. On a image de fonction donc à l'aide de la courbe de f on peut placer sur l'axe des ordonnées le terme terme de suite . Pour rapporter ce terme sur l'axe des abscisses, traçons maintenant la droite d'équation y=x. En revenant depuis terme de suite sur cette droite et en descendant vers l'axe des abscisses, on reporte ainsi terme de suite sur l'axe des abscisses. On peut maintenant avec f placer terme de suite sur l'axe des ordonnées puis rapporter sa valeur sur l'axe des abscisses à l'aide de la droite d'équation y=x. On peut ainsi placer plusieurs termes de la suite sur l'axe des abscisses et deviner la limite de la suite.

suite




Raisonnement par récurrence

Rien à voir avec les suites. Le raisonnement par récurrence est un type de raisonnement qui permet de démontrer qu'une propriété, qui dépend d'un entier naturel n, est vraie pour tout n. Par exemple si on doit démontrer que demonstration recurrence est toujours un multiple de 3, on utilise généralement un raisonnement par récurrence. Un raisonnement par récurrence se décompose en 4 étapes.

1. On pose math recurrence="la propriété que l'on veut démontrer", par exemple ici on posera demonstration recurrence

2. On montre que demonstration recurrence est vraie. C'est généralement assez simple. Ici propriete est vraie car demonstration recurrence et 0 est un multiple de 3.

3. On montre que pour tout nombre n, si cours recurrence est vraie, alors cours recurrence est encore vraie. C'est l'étape la plus difficile. Pour rédiger la solution on écrit : "Soit n un nombre entier naturel. Supposons que raisonnement recurrence soit vraie.". On doit montrer que raisonnement recurrence est encore vraie, c'est à dire que raisonnement recurrence est un multiple de 3.

recurrence


exemple recurrence est bien sur un multiple de 3.
expression est un multiple de 3 car expression est vraie. La somme de deux multiples de 3 est un multiple de 3, donc exemple raisonnement recurrence est un multiple de 3, donc exemple raisonnement recurrence est un multiple de 3, donc exemple raisonnement recurrence est vraie.

4. On conclut. Vu que conclusion raisonnement recurrence est vraie, et que pour tout n, conclusion raisonnement recurrence, on a conclusion raisonnement recurrence, donc conclusion raisonnement recurrence est vraie, conclusion raisonnement recurrence donc conclusion raisonnement recurrence est vraie, etc... et donc du coup conclusion raisonnement recurrence est vraie pour tout n. Pour rédiger on écrit juste : "Par principe de récurrence, propriete recurrence est vraie pour tout n".



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