Comprendre les maths

Cours de terminale

6 - Intégrales


L'intégrale d'une fonction positive entre un nombre a et un nombre b est l'aire sous la courbe de cette fonction entre les abscisses a et b.

Les intégrales servent à calculer les aires de figures non usuelles.


Exemple

Le calcul de l'aire de ce champ fera intervenir une intégrale.

aire math



Théorie

A l'aide de mesures de positions sur le terrain (et de techniques de calcul hors programme terminale) il est possible de trouver une fonction dont la représentation graphique suit le cours de la rivière, après avoir placé le tout dans un repère.

aire math

On peut approcher l'aire sous la courbe en effectuant la somme des aires de rectangles placés en dessous.

integration math theorie

Plus il y aura de rectangles, de petite largeur, et plus l'approximation sera bonne.

integration math theorie

En notant dx une longueur infiniment petite sur l'axe des abscisses, l'aire sous la courbe est la somme des aires d'une infinité de rectangles de longueurs dx et de hauteur f(x) à chaque fois, pour x variant de 0 à 4.

On note cette somme integration aire ce qui se lit : "intégrale de f(x) entre 0 et 4".
Nous allons voir comment on calcule une intégrale.


As-tu compris?

La courbe bleue ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f.

courbe fonction

Donne un arrondi à 1 près de intégrale .





Pratique

En notant F une primitive de f, on a :

formule calcul integrale


Exemple

integration math calcul

Le résultat est exprimé avec les unités du graphique.
Si une unité du graphique vaut 10 mètres, alors une unité d'aire vaut 100m², et donc l'aire réelle du champ vaut environ 1067 m².

As-tu compris?

Combien vaut intégrale ?.





Autre technique : l'intégration par parties

Si on ne parvient pas à trouver une primitive de f on peut tenter une intégration par parties.

On utilise la formule suivante:

formule integration par parties

(démonstration)

Exemple
Calcul de calcul primitive.

integrale math


Intégrale d'une fonction négative

On voit ici qu'une intégrale peut être négative alors qu'une aire est toujours positive.

lien aire integrale

Si on veut calculer l'aire S de la surface bleue ci-dessus, il faut calculer :

lien aire integrale


>>> Suites et récurrence >>>


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