Cours de terminale
4 - Les fonctions
Dans ce cours, nous allons introduire deux fonctions qui apparaissent souvent en sciences naturelles et en sciences physiques :
la fonction exponentielle et la fonction logarithme népérien.
Nous verrons ensuite des compléments sur les fonctions : la dérivée d'une fonction composée et le théorème des valeurs intermédiaires.
La fonction exponentielle
Le nombre e
Il est environ égal à 2,718281828 (comment on l'obtient).
La fonction exponentielle
Définition
La fonction exponentielle est la fonction qui à tout nombre x associe le nombre e à la puissance x.
Propriétés
- • Comme e>0, on a toujours ex>0.
- • La fonction exponentielle vérifie les propriétés sur les puissances, en particulier e0=1, ea+b=ea×eb et (ea)n=ea×n.
- • La fonction exponentielle est toujours égale à sa fonction dérivée. On peut le vérifier graphiquement en comparant le coefficient directeur de la tangent à sa courbe, pour un x pris au hasard, avec ex.
- • Comme elle ne prend qu'une fois chaque valeur de , si ea=eb, alors a=b (pratique pour résoudre certaines équations).
Représentation graphique
Limites particulières
La fonction logarithme népérien
La fonction logarithme népérien (notée ln) est la réciproque de la fonction exponentielle : c'est la fonction telle que pour tout nombre a,
ln(ea)=a et pour tout nombre a>0, eln(a)=a.
Son ensemble de définition est
, car la fonction exponentielle ne prend jamais de valeurs négatives.
Propriétés
- • ln(1)=0 car e0=1.
- • La fonction ln transforme des produits en sommes : (démonstration) et des quotients en différences.
- • , car ln(an)=ln(a×a×...×a)=ln(a)+ln(a)+...+ln(a)=nln(a).
- • La fonction ln a pour dérivée la fonction . On peut le vérifier graphiquement.
Représentation graphique
Limite particulière
Dérivée d'une fonction composée
Formule
La dérivée d'une fonction composée de la forme est .
Exemple
Calcul de la dérivée de .
- 1. On pose et . Alors .
- 2. et .
- 3. .
Autre exemple : dérivée de h(x)=(x3-1)5.
Essayer puis cliquer ici
Conséquence : autres formules utiles
Dérivée de √u
Dérivée de un
Dérivée de eu
Dérivée de ln(u)
Théorème des valeurs intermédiaires
Ce théorème permet de démontrer qu'une équation f(x)=a admet une solution dans un intervalle donné.
Fonction continue
On dit qu'une fonction est continue sur un intervalle si pour les valeurs de x parcourant cet intervalle, on peut tracer sa représentation graphique sans lever le crayon.
Cela revient à dire que pour tout nombre a de cet intervalle, .
Théorème des valeurs intermédiaires
Si une fonction f est continue sur un intervalle [a,b], alors pour nombre y de l'intervalle l'équation admet au moins une solution dans l'intervalle [a,b].
Si de plus la fonction est strictement monotone (strictement croissante ou décroissante) sur [a,b], la solution est unique.
Les fonctions en terminale
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