Comprendre les maths

Cours de terminale

4 - Les fonctions


Dans ce cours nous allons introduire deux fonctions qui apparaissent souvent en sciences naturelles et en sciences physiques : la fonction exponentielle et la fonction logarithme népérien.


Nous verrons ensuite des compléments sur les fonctions : la dérivée d'une fonction composée et le théorème des valeurs intérmédiaires.



La fonction exponentielle

Le nombre e

Le nombre e est un nombre très présent dans les mathématiques et dans les sciences en général.
Il est environ égal à 2,718281828 (comment on l'obtient).


La fonction exponentielle

Définition
La fonction exponentielle est la fonction qui à tout nombre x associe le nombre e à la puissance x.


Propriétés

Représentation graphique

fonction exponentielle


Limites particulières
limite exponentielle
limite exponentielle





La fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien (notée ln) est la réciproque de la fonction exponentielle : c'est la fonction telle que pour tout nombre a, ln(ea)=a et pour tout nombre a>0, eln(a)=a.

Son ensemble de définition est fonction logarithme neperien ensemble definition car la fonction exponentielle ne prend jamais de valeurs négatives.

Propriétés




Représentation graphique

graphique fonction logarithme neperien


Limite particulière

limite ln


Dérivée d'une fonction composée

Formule

La dérivée d'une fonction composée de la forme fonction est fonction.


Exemple

Calcul de la dérivée de fonction.

Autre exemple : Dérivée de h(x)=(x3-1)5. Essayer puis cliquer ici.



Conséquence : autres formules utiles

Dérivée de √u

composée racine carrée

(démonstration)

Dérivée de un

composée fonction puissance

(démonstration)

Dérivée de eu

composée exponentielle fonction

(démonstration)

Dérivée de ln(u)

dérivée composée logarithme fonction

(démonstration)



Théorème des valeurs intermédiaires

Ce théorème permet de démontrer qu'une équation f(x)=a admet une solution dans un intervalle donné.

Fonction continue

On dit qu'une fonction est continue sur un intervalle si on peut tracer sa représentation graphique sans lever le crayon sur cet intervalle.
Cela revient à dire que pour tout nombre a de cet intervalle, intervalle.


Théorème des valeurs intermédiaires

Si une fonction f est continue sur un intervalle [a,b], alors pour nombre y de l'intervalle intervalle l'équation equation admet au moins une solution dans l'intervalle [a,b].

continuite fonction

De plus si la fonction est strictement monotone (c'est à dire strictement croissante ou décroissante) sur [a,b] alors la solution est unique.



>>> Primitive de fonction >>>


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