Généralités :
Une fonction est continue si on peut tracer son graphique sans lever le crayon. Une fonction continue qui est strictement croissante sur un intervalle [a,b] et telle que f(a)<y et f(b)>y ne prend qu'une seule fois toute valeur y. Autrement dit, dans ce cas, l'équation f(x)=y admet une unique solution dans l'intervalle [a,b]
Fonction exponentielle :
Représentation graphique de la fonction exponentielle (notée
ou 
) :
On lit sur le graphique que :
La principale propriété de cette fonction, c'est que la fonction exponentielle est toujours égale à sa dérivée : le coefficient directeur de sa tangente en x = a vaut toujours a. Avec la formule de dérivation d'une composée de fonctions que tu connais (
), si u est une fonction alors :
La notation
pour la fonction exponentielle n'est pas un hazard, il s'agit bien
d'une fonction puissance. Le nombre e vaut environ 2,7. On peut donc appliquer les formules des puissances à
la fonction exponentielle. En particulier :
Fonction logarithme népérien :
C'est la fonction réciproque de la fonction exponentielle, c'est à dire que pour tout nombre a,
et pour tout nombre a>0,
. Son ensemble de définition est donc
(
n'a pas de sens car
ne vaut jamais -2).Le graphique est à retenir :
On lit dessus que :
La dérivée de la fonction logarithme est la fonction inverse 1/x. D'une manière générale si u est une fonction et si
, alors :
La fonction ln est capable de transformer des produits en sommes. Pour tous nombres a et b, on a
Avec cette propriété importante remarque que
. Quand on a une puissance
à l'intérieur de la fonction ln, on peut la passer devant la fonction ln. Tu peux aussi apprendre pour ta culture générale
que la fonction logarithme décimal est définie par :
Cette formule, inutile pour les maths, sert parfois en physique.